referatmix.ru
  Скачать .docx  

Реферат: Задача про розміщення ферзів Дерево пошуку та його обхід

Реферат на тему:

Задача про розміщення ферзів. Дерево пошуку та його обхід


Розглянемо шахівницю, що має розміри не 8´ 8, а n ´ n , де n >0. Як відомо, шаховий ферзь атакує всі клітини та фігури на одній з ним вертикалі, горизонталі та діагоналі. Будь-яке розташування кількох ферзів на шахівниці будемо називати їх розміщенням . Розміщення називається допустимим , якщо ферзі не атакують одне одного. Розміщення n ферзів на шахівниці n ´ n називається повним . Допустимі повні розміщення існують не при кожному значенні n . Наприклад, при n =2 або 3 їх немає. За n =4 їх лише 2 (рис.19.1), причому вони дзеркально відбивають одне одного.

Задача. Написати програму побудови всіх повних допустимих розміщень n ферзів, де 4£ n £ 20.

Для початку з'ясуємо деякі властивості допустимих розміщень. Очевидно, що в них кожний ферзь займає окрему вертикаль і горизонталь. Занумеруємо вертикалі й горизонталі номерами 1, … , n та позначимо через <H 1 , H 2 , ¼ , Hi > послідовність номерів горизонталей, зайнятих ферзями, що стоять у вертикалях 1, 2, ¼ , i , де 0£ i £ n . Випадок i =0 відповідає порожньому розміщенню <>.

Існує n способів розмістити ферзя в першій вертикалі, тобто перейти від порожнього розміщення до непорожнього. Цей перехід позначимо стрілкою (рис. 19.2(а)). За кожного з розміщень ферзя в першій вертикалі є n варіантів розміщення ферзя в другій вертикалі, але з них слід відкинути недопустимі. Відмітимо їх знаком '*' (рис.19.2(б)).

Узагалі, нехай зафіксовано розміщення ферзів у перших i -1вертикалях:

S (i -1)=<H 1 ,¼ ,Hi -1 >.

Для побудови всіх допустимих розміщень із початком S(i-1) треба перебрати всі допустимі розміщення S(i)з ферзем у i-й вертикалі та для кожного побудувати всі допустимі розміщення з початком S(i) .

Отже, маємо рекурсивний алгоритм побудови всіх допустимих розміщень, за яким пошук усіх допустимих заповнень ферзями останніх n -i +1вертикалей зводиться до пошуку заповнень n -i вертикалей.

Уточнимо цей алгоритм рекурсивною процедурою deps. Нехай розмір шахівниці не більше nm=20. Номери вертикалей та діагоналей містяться в діапазоні nums=1..nm, а розміщення зображається станом масиву H типу

arh = array [ nums ] of nums.

Процедура deps задає побудову розміщення, починаючи з i -ї вертикалі за фіксованих H [1], ¼ , H [i -1]. Підпрограми test та writs задають відповідно перевірку допустимості розміщення <H [1], … , H [i -1], H [i ]> та друкування повного розміщення. Вони викликаються у процедурі deps:

procedure deps ( var H : arh; n, i : nums);

var j, k : nums;

begin

for k := 1 to n do

begin

H[i] := k;

if test ( H, i) then

if i = n then writs ( H, n) {друкування повного розміщення }

else deps ( H, n, i+1 ) {рекурсивний виклик}

end

end

Функція test задає перевірку допустимості розміщення <H [1], ¼ , H [i -1], H [i ]> за умови, що <H [1], ¼ , H [i -1]> є допустимим:

function test ( var H : arh; i : nums ) : boolean;

var j : nums; flag : boolean;

begin

j := 1; flag := true ;

{перевірка, чи займається нова горизонталь і діагональ}

while ( j < i ) and flag do

begin

flag := ( H[i] <> H[j] ) and ( abs ( H[i]-H[j] ) <> i-j ); j := j+1

end ;

test := flag

end

Розробка процедури writs друкування повного розміщення залишається вправою.

Програма розв'язання задачі має такий вигляд:

program Queens ( input, output );

const nm = 20;

type nums = 1..nm;

arh = array [ nums ] of nums;

var H : arh; n : nums;

procedure writs ¼ end ;

function test ¼ end ;

procedure deps ¼ end ;

begin

writeln ('задайте розмір дошки: 4..20>'); readln ( n );

deps ( H, n, 1)

end .

2. Дерево пошуку та його обхід

Розміщення ферзів на шахівниці, що будуються в процесі виконання програми Queens, можна подати вузлами кореневого орієнтованого дерева (рис.19.3).

У цьому дереві кожний вузол <H [1], ¼ , H [i ]>, де 0£ i <n , має синів

<H [1], ¼ , H [i ], 1>, <H [1], ¼ , H [i ], 2>, ¼ , <H [1], ¼ , H [i ], n >.

Відповідно цей вузол називається їхнім батьком . Сини вузла, сини його синів тощо називаються його нащадками , а він – їхнім попередником . Порожнє розміщення <> є коренем дерева , повні чи недопустимі розміщення – його листками , а допустимі неповні – проміжними вузлами . Кожний вузол дерева має певну глибину , або рівень у дереві. Глибиною кореня є 0, його синів – 1 тощо. Повним розміщенням відповідають листки дерева, які в даному разі мають глибину n . Зазначимо, що в даному разі глибина вузлів дерева збігається з довжиною їх як розміщень.

Це дерево відбиває пошук повних допустимих розміщень, тому називається деревом пошуку . Пересування по вузлах дерева у визначеному порядку називається обходом дерева . Отже, пошук розміщень у дереві є результатом його обходу.

Задамо алгоритм, реалізований процедурою deps із програми Queens, в узагальненому вигляді. Нехай A позначає вузол дерева, ОБХІД( A ) – обхід дерева з коренем А , а синами вузла A є A (1), A (2), ¼ , A (n ). Тоді процедура deps із програми Queens має таку схему:

for k := 1 to n do

begin

перехід до вузла A(k) ;

if A(k) є допустимим then

if A(k) є листком then обробка листка A(k)

else ОБХІД( A(k) )

end

Як бачимо, процедура deps задає обхід дерева пошуку з вузлів-розміщень ферзів. Цей обхід називається обходом дерева у глибину . Ця назва зумовлена тим, що обхід дерева з довільним коренем закінчується лише після того, як закінчено обхід усіх його нащадків . Тобто від вузла ми переходимо до його нащадків, заглиблюючися в дерево.

Обхід дерева в глибину відтворюється за допомогою магазина (стека), до якого додаються та з якого вилучаються вузли дерева.

З кожним вузлом дерева пов'яжемо інформацію, яка додається при переході до цього вузла. В задачі про розміщення ферзів кореневий вузол відповідає порожньому розміщенню, тому з ним ніяка інформація не пов'язана. При переході від вузла, що подає розміщення <H [1], ¼ , H [i ]>, до вузла, відповідного розміщенню <H [1], ¼ , H [i ], k >, збільшується номер останньої вертикалі i , в k -у клітину якої ставиться ферзь. Отже, з вузлом зв'язується пара чисел (i , k ), що є номерами вертикалі й горизонталі. Саме такі пари додаються до магазина вузлів.

У задачі про ферзі роль магазина відіграє масив H. Збільшення номера вертикалі i , тобто перехід до наступного компонента масиву, разом із присвоюванням H[i]:=k відтворюють додавання до магазина нового елемента – пари (i , k ). Цикл із заголовком

for k := 1 to n do

у процедурі deps задає перебирання вузлів-"братів"

<H [1],¼ , H [i -1], 1>, <H [1],¼ , H [i -1], 2>, ¼ , <H [1],¼ , H [i -1], n >,

що рівносильно послідовному вилученню з магазина попереднього брата з додаванням наступного.

Опишемо обхід дерева пошуку розміщень без застосування рекурсії. Розглянемо пересування, пов'язані з вузлами дерева. З допустимого вузла-листка ми одразу рухаємося до його батька, з недопустимого – до його брата. Пересування, пов'язані з кожним його проміжним вузлом, можна подати, як на рис.19.4.

Як бачимо, відвідувати проміжний вузол доводиться лише двічі – на початку та в кінці обходу дерева, коренем якого він є. Для того, щоб відрізнити ці два випадки, потрібні додаткові змінні. У разі розміщень ферзів перехід від вузла до його правого брата задається збільшенням H[i] на 1. Це рівносильне одночасному виштовхуванню вузла з магазина та додаванню його правого брата. Звідси випливає, що коли обробляється вузол глибини i , в магазині є лише по одному вузлу кожної глибини m , m £ i . Тому достатньо однієї додаткової змінної для кожної можливої глибини. Отже, означимо додатковий масив D того ж самого типу, що й масив H. Значенням D[i] стає 0, коли до вузла глибини i ми приходимо згори або зліва, та 1 – коли знизу.

Перехід до вузла знизу – це повернення до батька, і його умовою в задачі про ферзі є H[i]=n.

Повернення до кореня дерева означає кінець його обходу. Тому використаємо умову i=0 як умову закінчення пошуку. Отже, пошук повних допустимих розміщень ферзів має таке описання, яке по суті є тілом процедури пошуку:

i:=1; H[i]:=1; D[i]:=0;

while (i<>0) do

begin

if i=n then {обробка вузла-листка}

if test(H, i) then {друкування повного допустимого розміщення}

{ та повернення до батька незалежно від наявності братів}

begin writs(H, n); i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end

else

if H[i]<n then H[i]:=H[i]+1 {перехід до правого брата}

else {повернення до батька – }

{піддерево, в якому він є коренем, вже обійшли}

begin i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end

else {обробка проміжного вузла}

if (D[i]=0) and test(H, i) then {рух у глибину}

begin i:=i+1; H[i]:=1; D[i]:=0 end

else {рух праворуч або нагору}

if H[i]<n then {рух праворуч}

begin H[i]:=H[i]+1; D[i]:=0 end

else {рух нагору}

begin i:=i-1; if i>0 then D[i]:=1 end

end

Оформлення програми з необхідними означеннями, ініціалізаціями та нерекурсивною процедурою пошуку залишаємо як вправу.

Узагальнимо наведений алгоритм, вважаючи, що, на відміну від задачі про розміщення ферзів, кореневий вузол дерева також містить деяку відповідну інформацію:

заштовхнути кореневий вузол у магазин ;

while магазин не порожній do

begin

нехай A – вузол на верхівці магазина ;

if A є листком then

begin

обробити листок A ;

виштовхнути A з магазина ;

if A не є правим сином свого батька then

заштовхнути в магазин правого брата A ;

end

else {A – проміжний вузол }

if A є допустимим і дерево з коренем A ще не оброблено then

заштовхнути в магазин лівого сина A

else {дерево з коренем A вже оброблено або A не є допустимим }

begin

виштовхнути A з магазина ;

if A не є правим сином свого батька і не є коренем then

заштовхнути правого брата A в магазин ;

end

end .

Наведений опис задає так званий вичерпний пошук у дереві пошуку варіантів, оскільки рано чи пізно ми дістаємося кожного допустимого вузла дерева. Зазначимо, що цей опис є схемою багатьох алгоритмів розв'язання різноманітних задач, пов'язаних із перебиранням варіантів.