| Скачать .docx |
Реферат: Подвійний інтеграл його властивості
Пошукова робота на тему:
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
П лан
- Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла
- Означення подвійного інтеграла
- Теорема існування
- Властивості подвійного інтеграла
ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
1. Означення
Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .
Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі .
Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області
і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області .
Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:
(11.1)
Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .
Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).
Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує
при
:
Рис.11.1
. (11.2)
Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так:
.
Отже, об’єм циліндричного тіла
. (11.3)
Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо на частин об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо або
Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює
(11.4)
Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією , що задана в трьохвимірному просторі .
Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1) ), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:
Отже,
(11.5)
До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.
Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.
Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.
1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.
Поняття про міру Жордана 1) . В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:
1) якщо прямокутник з основою і висотою то
2) якщо і мають міри то
3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини і то
Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.
В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.
Поверхня називається гладкою , якщо в довільній її точці
можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою , якщо її можна
розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.
Для трьохвимірних обмежених областей з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число , що задовольняє таким властивостям:
1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами то
2) якщо і мають міри то
3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини і то
1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик
Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.
Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.
Нехай в вимірному просторі задана обмежена область з кусково-гладкою границею і на (або на ) задана функція Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці і складемо суму
яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції що відповідає даному розбиттю.
Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум коли максимальний діаметр частинних множин ( ) і вона не залежить від вибору точок в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції на (або по ). Отже,
. (11.6)
Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання не має значення, оскільки де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .
2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування
Будемо надалі вважати області із кусково-гладкими границями.
10 . Справедлива рівність
(11.7)
Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини
що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що
Але тоді
За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа в трьохвимірному – об’єм В - вимірному випадку формула (11.7) дає - вимірну міру
Нижче ми допускаємо, що для функцій , , , про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.
20 . Справедлива рівність
(11.8)
де і константи.
30 . Якщо область з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини і то
(11.9)
40 . Якщо
то має місце нерівність
(11.10)
Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.
50 . Справедлива нерівність
(11.11)
Дійсно, враховуючи, що отримаємо в силу (12.8) (при ) і (4.10)
тобто (11.11).
60 . Якщо то
(11.12)
константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:
70 . ( Теорема про середнє ). Нехай функція неперервна в замкнутій області яку ми будемо вважати зв’язною 1) . Тоді існує точка така , що виконується рівність
(11.13)
Д о в е д е н н я. Оскільки функція неперервна в замкнутій області то вона досягає в цій області свого найменшого та найбільшого значень Тому
Інтегруючи ці нерівності по і використовуючи властивості 10 , 40 , одержимо
. (11.14)
Із нерівностей (12.11) випливає
тобто число знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції В силу зв’язності існує неперервна крива, що належить ,
і яка з’єднує точки і тобто така крива, що
Функція
неперервна на відрізку (як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення .
Але тоді за теоремою про проміжне значення функції однієї змінної, існує таке , що в точці має місце рівність
що й доводить теорему.
1) Множина називається зв’язною , якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить
Зауваження. Число називається середнім значенням неперервної функції в області .
Теорема існування. Якщо функція неперервна в замкнутій обмеженій області з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на так само, як і на і
(11.15)