| Скачать .docx |
Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних
Пошукова робота
на тему:
Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.
П лан
- Основні правила диференціювання.
- Похідні від елементарних функцій.
- Похідна від степеневої функції.
- Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
- Похідні від тригонометричних функцій.
- Похідні від обернених тригонометричних функцій.
- Похідна від складної функції.
1. Правила диференціювання
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.
10 . Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .
Отже, якщо , то
. (6.14)
1. Похідна від сталої функції .
Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .
Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо
.
Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто
. (6.15) 3. Похідна від суми.
Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює
. (6.16)
Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення
.
Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то
, .
Тому
Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює .
Теорему доведено.
Наслідок . Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто
(6.17)
4. Похідна від добутку.
Теорема . Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну:
. (6.18)
Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі . За умови теореми
а
Отже,
Теорему доведено.
Наслідок . Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо , то
(6.19)
5. Похідна від частки.
Теорема . Якщо функції в точці мають похідні і , то функція також у точці має похідну і похідна дорівнює
(6.20)
Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функції матимуть відповідно прирости , а функція - приріст
Знайдемо відношення
За умовою теореми
а , тому
Теорему доведено.
Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то
(6.21)
Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то
(6.22)
6. Похідна від оберненої функції.
Теорема. Нехай функція задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має також похідну: .
Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функція дістане приріст , причому, внаслідок монотонності функції , матимемо , якщо . Тоді відношення можна записати так: Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок неперервності оберненої функції , тобто
Отже, від функції в точці існує похідна:
(6.23)
Теорему доведено.
Якщо функція має похідну в довільній точці і
, то формула (6.23) справджується для цих точок
або, що те саме,
(6.24)
У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують
(6.25)
Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.
Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:
(6.26)
2. Похідні від елементарних функцій
Похідна від степеневої функції
Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :
Розкриємо за формулою бінома Ньютона:
Знайдемо відношення
Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо
Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює
Випадок довільного показника . Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від .
Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює
Знайдемо відношення
або
(6.28)
де .
Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й . Тому
(6.29)
Обчислимо окремо
Для цього введемо таке позначення:
причому , якщо . Тоді звідки . Тоді
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо
Отже,
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо
тобто якщо і , то
(6.30)
Розглянемо випадок, коли . Якщо , то точка не входить в область існування функції . Тому розглядатимемо і . Знайдемо приріст функції в точці :
тоді
Звідси випливає, що у випадку границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:
Якщо , то границя не існує, тобто у випадку функція в точці похідної немає.
Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти , то дістанемо той самий результат.
Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим.
3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій
1. Нехай маємо показникову функцію .
Знайдемо в довільній точці приріст :
Тоді
Перейдемо тут до границі при . Маємо
Таким чином, похідна від показникової функції існує в довільній точці і дорівнює
(6.31)
Зокрема,
(6.32)
2. Нехай маємо логарифмічну функцію , де . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:
Оскільки , то
Отже,
(6.33)
Зокрема,
(6.34)
4. Похідні від тригонометричних функцій
1. . Знайдемо приріст функції в довільній точці :
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі при :
Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює
(6.35)
2. . Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює
(6.36)
3. Зобразимо у вигляді
Скориставшись формулою (6.20), маємо
Отже,
(6.37)
4. . Аналогічно можна довести, що
(6.38)
5. Похідні обернених тригонометричних функцій
1. , де , .
Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:
причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):
Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:
Отже, остаточно
(6.39)
2. Аналогічно можна вивести формули похідних
(6.40)
(6.41) (6.42)
6. Похідна від складної функції
Функція однієї змінної.
Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто
або
(6.43)
Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.
Зауваження . Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює
Приклади.
1. Знайти похідну від функції .
Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,
2. Знайти похідну від функції .
Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .
Тому
Похідна від степенево-показникової функції.
Означення . Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.
Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.
Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:
Звідси
або
(6.44)
Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.
Приклади .
1. Знайти похідну від функції .
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти похідну від функції .
Р о з в ’ я з о к.
Зауваження . Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.
Приклад .
Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності:
Звідси
Похідна від складної функції кількох змінних.
Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .
Приклади .
1. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної :
Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення:
(6.45)
Приклад .
Знайти похідну від функції , якщо , .
Р о з в ’ я з о к.
Якщо, зокрема, , , тобто, якщо один із аргументів функції є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній ) дає вираз повної похідної від функції по :
(6.46)
Нехай є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних і . Нехай має неперервні частинні похідні по і по , а і мають частинні похідні по . За таких умов формула диференціювання складної функції записується так:
(6.47)
....
Приклад .
Знайти частинні похідні від функції , якщо , .
Р о з в ’ я з о к.