Реферат: Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.3

Задача 3 . Найти дифференциал .

3.1.

dy= arcsin(1/x)dx-x/√(1-1/x² )* dx/x² +((1+x/√(x² -1))/(x+√(x² -1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x² -1)+ ((x+√(x² -1))/ ((x+√(x² -1))√(x² -1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x² -1)+ dx/√(x² -1)= arcsin(1/x)dx

3.2.

dy= dx/cos2(2arccos√(1-2x² ))*(-2/√(1-√(1-2x² )))*(-2x/√(1-2x² ))= 4xdx/ (cos2(2arccos√(1-2x² ))*√ (1-2x² -√(1-2x² )))

3.3.

dy= dx/√(1+2x)-((1+1/√(2x+1))/(x+√(1+2x))))dx= dx/√(1+2x)-((√(2x+1)+1)/(√(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x+√(2x+1)- √(2x+1)-1)/( √(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x-1)/(x+√(2x+1)))dx

3.4.

dy=2xarctg√(x² -1)dx-x² dx/(1+x² -1)-xdx/√(x² -1)= 2xarctg√(x² -1)dx-dx-xdx/√(x² -1)

3.5.

dy= dx/√(1-1/(1+2x2))*4x/2√(1+2x² )³ = 2xdx/√(2x² (1+2x² )³ /(1+2x² ))= 2xdx/((1+2x² )√( 2x² ))= √2dx/(1+2x² )

3.6.

dy= ln│x+√(x² +3)│dx+xdx/(x+√(x² +3))*(1+x/√(x² +3))= ln│x+√(x² +3)│dx+ xdx/(x+√(x² +3))*(x+√(x² +3))/√(x² +3)= ln│x+√(x² +3)│dx+ xdx/√(x² +3)

3.7.

dy= (сhx/(1+sh² x)+сhxlnchx+sh² x/chx)dx

3.8.

dy= ((-1/√(1-(x² -1)² /2x⁴ ))*(2√2x³ -2√2x³ +2√2x)/2x⁴ )dx= -2√2xdx/(√2x² √(x⁴ +2x² -1))= 2dx/(x√(x⁴ +2x² -1))

3.9.

dy=((-2cosxsinx-(4cos³ xsinx)/(2√(1+cos⁴ x)))/(cos² x+√(1+cos⁴ x)))dx=

((-sin2x*√(1+cos⁴ x)-sin2x*cos² x)/(cos² x*√(1+cos⁴ x)+1+cos⁴ x))dx

3.10.

dy=((1+x/√(1+x² ))/(x+√(1+x² ))-xarctgx/√(1+x² )- √(1+x² )/ (1+x² ))dx=

(1/√(1+x² )-xarctgx/√(1+x² )-1/√(1+x² ))dx= -xarctgxdx/√(1+x² )

3.11. .

dy=((1+x² -2x² lnx)/(x(1+x² ))-(( 1+x² )/2x² )*((2x(1+x² )-2x³ )/( 1+x² )² ))dx=

((x+x³ -2x³ lnx)/(x(1+x² )² )-(( 1+x² )x)/(x² (1+x² )² ))dx=

((x+x³ -2x³ lnx-x-x³ )/(x(1+x² )² )dx= -2xlnxdx/(1+x² )²

3.12.

dy=((e^x + e^2x /√( e^2x -1))/( e^x +√( e^2x -1))+e^x /√(1-e^2x ))dx=

(e^x (e^x +√( e^2x -1))/((e^x +√( e^2x -1))√( e^2x -1))+ e^x /√(1-e^2x ))dx=

(e^x /√(e^2x -1)+e^x /√(1-e^2x ))dx

3.13.

dy=(√(4-x² )-2x² /(2√(4-x² ))+a/(2√(1-x² )))dx=((4-3x² )/√(4-x² )+a/(2√(1-x² )))dx

3.14.

dy=(1/(2tg(x/2)cos² (x/2))-(sinx-xcosx)/sin² x)dx=(1/(1-cosx)-(sinx-xcosx)/((1-cosx)(1+cosx)))dx=((1+cosx-sinx+xcosx)/(1-cos² x))dx

3.15.

dy=(2+(cosx-2sinx)/(sinx+2cosx))dx

3.16.

dy=(-1/(2√(ctgx)sin² x)-2tg² x/(6√(tg³ x)cos² x))dx=((-cos⁴ x*√(tg³ x)-sin⁴ x*√(ctgx))/(4cos⁴ x*sin² x*√(ctgx*tg³ x)))dx=((-cos⁴ x*√(tg³ x)-sin⁴ x*√(ctgx))/(4cos³ x*sin³ x))dx=((-cos⁴ x*tg² x-sin⁴ x)/(4cos³ x*sin³ x*√(tgx)))dx=((-cos² x*sin² x-sin⁴ x)/(4cos³ x*sin³ x*√tgx))dx=((-cos² x-sin² x)/(4cos³ x*sinx*√tgx))dx=((-√ctgx)/(4cos³ x*sinx))dx

3.17.

dy=((x/(x+√(x² +1)))*((2x(1+x/√(x² +1)-2(x+√(x² +1))))/(4x² )))dx=((x/(x+√(x² +1)))*((x√(x² +1)+x² -x√(x² +1)-x² -1)/x² ))dx=-dx/(x² +x√(x² +1))

3.18.

dy=(1/3*³ √((x-2)/(x+2))² *(x-2-x-2)(x-2)² )dx=(-4/(3(x-2)² )*3√((x-2)/(x+2))² )dx

3.19.

dy=((2x² -x² +1)/(x² (1+(x² -1)² /x² )))dx=((x² (x² +1))/(x² (x² +(x² -1)² )))dx=((x² +1)/(x⁴ -x² +1))dx

3.20.

dy=(2x/(x² -1)+2x/(x² -1)² )dx=((2x³ -2x+2x)/(x² -1)² )dx=(2x³ /(x² -1)² )dx

3.21.

dy=(1/((1+(tg(x/2)+1)² )*(2cos² (x/2))))dx=(1/((1+tg² (x/2)+2tg(x/2)+1)*(2cos² (x/2))))dx=(1/(2(1+2sin(x/2)*cos(x/2)+1)))dx=dx/(4+2sinx)

3.22.

dy=((2+(2x+1)/√(x² +x))/(2x+2√(x² +x)+1))dx=((2√(x² +x)+2x+1)/(√(x² +x)*(2x+2√(x² +x)+))dx=dx/√(x² +x)

3.23.

dy=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(tg√x)/(2√x)+√x/(2√xcos² √x))dx=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(sin√x)/(2√xcos√x)+1/(2cos² √x))dx=((1+tg² x)/2)dx

3.24.

dy=(e^x (cos2x+2sin2x)+e^x (-2sin2x+4cos2x))dx=e^x (cos2x+2sin2x-2sin2x+4cos2x)dx=5e^x cos2xdx

3.25.

dy=((sinlnx-coslnx)+x((coslnx)/x+(sinlnx)/x))dx=(sinlnx-coslnx+coslnx+sinlnx)dx=2sinlnxdx

3.26.

dy=((e^2√(x-1) /(2√(x-1)))*(1/√(x-1))+(√(x-1)-1/2)*e^2√(x-1) *1/√(x-1))dx=(e^2√(x-1) *(1/(2x-2)+1-1/(2√(x-1))))dx=(e^2√(x-1) *((2x-1-√(x-1))/2x-2))dx

3.27.

dy=(-sinxlntgx+(cosx/tgx)*1/cos² x-1/(2tg(x/2)*cos² (x/2)))dx=(-sinxlntgx+cos² x/sinx-(1+tg² (x/2))/2tg(x/2))dx

3.28.

dy=(x/√(3+x² )-ln│x+√(3+x² )│-(x(1+x/√(3+x² )))/(x+√(3+x² )))dx=(x/√(3+x² )-ln│x+√(3+x² )│-(x(√(3+x² )+x))/((x+√(3+x² ))√(3+x² ))dx=(x/√(3+x² )-ln│x+√(3+x² )│-x/√(3+x² ))dx=-ln│x+√(3+x² )│dx

3.29.

dy=(1/2√x-arctg√x-(1+x)/((1+x)*2√x))dx=(1/2√x-arctg√x-1/2√x)dx=-arctg√xdx

3.30.

dy=(arctgx+x/(1+x² )-(2x/√(1+x² ))*1/(2√(1+x² )))dx=(arctgx+x/(1+x² )-x/(1+x² ))dx=arctgxdx

3.31.

dy=(√(x² -1)+x/√(x² -1)+(1+x/√(x² -1))/(x+√(x² -1)))dx=(√(x² -1)+x/√(x² -1)+(x+√(x² -1))/(√(x² -1)(x+√(x² -1))))dx=(√(x² -1)+x/√(x² -1)+1/√(x² -1))dx=((x² -1+x+1)/√(x² -1))dx=(x² +x)dx/√(x² -1)