Реферат: А. Е. Медведев Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича со ран 630090, Новосибирск

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ КРОВИ ПРИ ТЕЧЕНИИ

В МЕЛКИХ СОСУДАХ

А.Е. Медведев

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
630090, Новосибирск,
e- mail: medvedev@ itam. nsc. ru

Введение. Течение крови имеет ряд особенностей – в крупных кровеносных сосудах (более 1000 микрон) кровь ведет себя как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость, для более мелких сосудов необходимо учитывать реологические неньютоновские свойства течения крови [1]. Поэтому для математического описания течения крови в крупных сосудах обычно используется модель вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, а для мелких кровеносных сосудов – различные реологические модели неньютоновской жидкости.

Особенности течения крови. Кровь (с точки зрения механики) представляет собой суспензию, состоящую из плазмы (вязкая несжимаемая жидкость) и эритроцитов (двояковогнутые деформируемые диски размером 8 мкм на 2.5 мкм, заполненные гелем). Одной из основных характеристик крови является показатель гематокрита – объемное содержание эритроцитов в крови. Течение крови в сосудах отличается особенностями (эффектами): I) зависимость показателя гематокрита от диаметра сосуда (эффект Фареуса); II) существование пристеночного слоя плазмы без эритроцитов; III) тупой (по сравнению с профилем течения Пуазейля) профиль скорости крови; IV) вязкость крови падает с уменьшением размера сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста.

Модель течения крови. Рассмотрим кровь как суспензию, состоящую из двух несжимаемых фаз. Первая фаза – плазма крови, вторая – эритроциты. Относительная вязкость суспензии зависит от концентрации и, согласно формуле Эйнштейна, имеет вид

(1)

где – объемная доля эритроцитов (локальный показатель гематокрита), , – динамическая вязкость крови и плазмы, соответственно.

Известно ([2]), что эритроциты неравномерно распределены по сечению сосуда, то есть объемная доля эритроцитов зависит от радиуса. Решение уравнений, аналогичных уравнениям Пуазейля, но с переменной вязкостью, дает скорость крови

(2)

где – безразмерный радиус, – максимальная скорость течения Пуазейля.

ã Медведев А.Е., 2011

Скорость крови имеет более тупой профиль, по сравнению с параболическим решением Пуазейля . Это связано с тем, что концентрация эритроцитов имеет максимум на оси сосуда и минимум на стенке. В силу этого относительная вязкость (1) имеет максимум на оси и минимум на стенке сосуда. Тогда в центре сосуда (при ) имеем , отсюда получим ; на стенке сосуда (при ) скорость течения крови . Таким образом, профиль скорости течения крови тупой, по сравнению с профилем скорости Пуазейля.

a b

Рис. 1. Зависимость отношения показателей гематокрита (a ) и относительной наблюдаемой вязкости (b ) от диаметра сосуда для фиксированных значений показателя гематокрита. Значки – экспериментальные данные из [2] для стеклянных трубок. Линии (a ) – аппроксимация экспериментальных точек [2], линии (b ) – относительная наблюдаемая вязкость, рассчитанная по предлагаемой модели.

Для простоты примем, что распределение объемной доля эритроцитов по сечению сосуда задается ступенчатой функцией:

(5)

где – относительная толщина пристеночного слоя плазмы, – объемная доля эритроцитов на оси сосуда.

Эффект образования пристеночного слоя связан с поперечной миграцией эритроцитов при движении по сосуду. В механике суспензий это явление называется эффектом Сегре-Зильберберга. Толщина пристеночного слоя зависит от диаметра трубы, свойств несущей жидкости и частиц. Поведение эритроцитов во время движения кардинально отличается от твердых частиц – эритроциты могут деформироваться и слипаться, образую “монетные столбики”. Для нахождения уравнения состояния крови были взяты экспериментальные данные по зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда (рис. 1a ).

Задача нахождения уравнения состояния крови сводится к решению алгебраического уравнения на толщину пристеночного слоя и объемной доли эритроцитов :

(5)

где , – функция, аппроксимирующая экспериментальные данные на рис. 1a .

a b

Рис. 2. (a ) Зависимость относительной толщины пристеночного слоя плазмы от диаметра сосуда для 4-x значений показателя гематокрита . Точки – эксперименты из [3]. Сплошные линии – расчет по предложенной модели. (б ) Сравнение экспериментального (точки из [4]) и расчетного по (2) (сплошная красная кривая) распределения скорости крови в стеклянной трубке диаметром 54.2 мкм (, градиент давления дин/см³ ). Синяя линия – скорость течения Пуазейля.

Выводы. Проведено сравнение с известными экспериментальными данными [1-3] по относительной наблюдаемой вязкости (рис. 1a ), по толщине пристеночного слоя (рис. 2a ) и профилю продольной скорости крови (рис. 2‍b ). Как видно из рис. 1 и 2, несмотря на грубое приближение профиля локального гематокрита ступенчатой функцией (5), результаты расчета по модели находятся в рамках погрешности экспериментальных измерений.

Получена зависимость вязкости крови от диаметра сосуда для описания течения в сосудах диаметра больше 4.5 микрон. Данные зависимости имеют единые вид для сосудов всех размеров и переходят в формулы течения Пуазейля при больших диаметрах сосудов.

Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 91.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982. 272 с.

2. Pries A.R., Secomb T.W. In: Handbook of Physiology: Microcirculation. Ed. Tuma R.F., Dura W.N., Ley K. 2^nd ed. Academ Press. 2008. P. 3–36.

3. Sharan M., Popel A.S. A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall // Biorheology. 2001. V. 38. P. 415–428.

4. Long D.S., Smith M.L., Pries A.R. et al. Microviscometry reveals reduced blood viscosity and altered shear rate and shear stress profiles in microvessels after hemodilution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2004. V. 101. N. 27. P. 10060–10065.