Реферат: Задание для курсовой работы

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………...4

Задание для курсовой работы…………………………………………………….....5

Раздел 1 Определение требований к частотным характеристикам

аналогового ФНЧ…………………………………………………………7

Раздел 2 Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ………………………….....8

Раздел 3 Синтез цифрового фильтра Чебышева НЧ……………………………..10

Раздел 4 Частотные характеристик НЧ…………………………………………...12

Раздел 5 Построение схем цифровых фильтров НЧ……………………………..13

Раздел 6 Синтез цифровых фильтров ПФ………………………………………...15

Приложения. Примеры выполнения курсовой работы………………………….18

А. Билинейное z-преобразование……………………………………….18

Б. Пример расчета требований к прототипу цифрового фильтра……19

В. Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Баттерворта

по аналоговому прототипу………………………………………………21

Г. Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Чебышева

по аналоговому прототипу………………………………………………23

Д. Построение частотных характеристик цифрового ФНЧ

Баттерворта.................................................................................................25

Е. Построение схемы цифрового фильтра……………………………...28

Список рекомендуемой литературы………………………………………………29

Введение

Задания для курсовой работы

В таблице 1 приведены исходные данные для расчета полосового фильтра. В первом столбце информация о номере варианта, где n – порядковый номер по списку группы

Раздел 1

Определение требований к частотным

характеристикам цифрового ФНЧ

1 По исходным данным варианта построить шаблон требований к частотным характеристикам рабочего ослабления и коэффициента передачи аналогового ПФ (рис. 1).

Для построения шаблона требований к частотной характеристике коэффициента передачи ПФ определить H_а (f ) по формуле:

(1.1)

Рисунок 1 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового полосового фильтра:

а – затухания; б – коэффициента передачи

2 По известным требованиям к аналоговому ПФ определить требования к аналоговому ФНЧ (рис. 2).

Ширина полосы пропускания (ПП) ФНЧ-прототипа f ₁ будет равна ширине ПП ПФ, а граничная частота полосы задерживания ПЗ f ₂ – разности граничных частот ПЗ ПФ:

(1.2)

Рисунок 2 – Шаблон требований к частотной характеристике аналогового фильтра нижних частот: а – затухания; б – коэффициента передачи

3. Произвести операцию преобразования частоты для цифрового фильтра. Частоты f _1цп и f _2цп рассчитываются по формуле 1.4 (рис. 3):

(1.4)

Рисунок 3 – Амплитудно-частотная характеристика:

а – аналогового ФНЧ, б – аналогового прототипа цифрового фильтра

Раздел 2

Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ

1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ по данным раздела 1.

Для этого необходимо:

а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя;

б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости;

в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.

2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (H _Б (z )).

3 Построить схемы цифрового фильтра Баттерворта.

4 Построить частотные характеристики фильтра Баттерворта.

Для этого необходимо:

а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) H _Б (j ω);

б) используя выражение КПФ, построить частотные характеристики H _Б (ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.

1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:

, (2.1)

где .

2. Квадрат модуля передаточной функции с полиномом Баттерворта определяется по формуле [3]:

, (2.2)

где С _n – коэффициент при старшей степени полинома знаменателя функции квадрата модуля.

Данную формулу удобнее использовать в несколько ином виде, разделив числитель и знаменатель на С _n :

. (2.3)

Затухание ФНЧ Баттерворта определяется по формуле [3]

, (2.4)

где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания.

Из формул (5.1.4) выходит, что

, (2.5)

3. Корни квадрата модуля определяются из уравнения . Известно, что для устойчивой цепи корни должны располагаться в левой полуплоскости, поэтому для синтеза фильтра выбирают только корни вида:

. (2.6)

Для функции порядка n эти корни будут иметь вид [4]:

, (2.7)

где k = 1,2,3…n .

Передаточная функция формируется в виде произведений полиномов второй степени (биквад) для чётных порядков. В случае нечётных порядков добавляется полином первого порядка.

Передаточная функция в общем виде будет иметь вид:

– для четных n :

, (2.8)

где и – комплексно-сопряженные корни;

для нечетных n :

. (2.9)

Вначале находятся корни для С _n = 1. Все корни этого полинома располагаются на единичной окружности. Произведение двух комплексно-сопряженных сомножителей имеет вид:

(2.10)

Если С _n ≠ 1, то корни будут расположены на окружности радиусом . Далее составляются биквады, при этом объединяются пары комплексно-сопряженных корней.

Значения корней умножают на δ. Это значит, что в сомножителе первой степени вместо 1 необходимо поставить δ, а в сомножителях второй степени коэффициент при первой степени умножается на δ, а свободный член на δ² :

.

На рис. 4 изображено семейство частотных характеристик при различных коэффициентах С _n .

Далее операторная передаточ- ная функция аналогового фильтра H (p ) преобразуется в операторную передаточную функцию цифрового фильтра с помощью билинейного z -преобразования [см. приложение А].

Для построения схемы и частотных характеристик фильтра можно воспользоваться приложе- ниями В и Г соответственно.

Раздел 3

Синтез цифрового фильтра Чебышева

1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ.

Для этого необходимо:

а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя.

б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости.

в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.

2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (H _Ч (z )).

3 Построить схемы цифрового фильтра Чебышева.

4 Построить частотные характеристики фильтра Чебышева.

Для этого необходимо:

а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) H _Ч (j ω).

б) Используя выражение КПФ, построить частотные характеристики H _Ч (ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.

1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:

2. . (3.1)

3. Квадрат модуля передаточной функции ФНЧ Чебышева [3]:

, (3.2)

где – полином Чебышева степени n .

Затухание ФНЧ Чебышева определяется как:

. (3.3)

Корни передаточной функции полинома Чебышева расположенные в левой полуплоскости рассчитываются по формуле:

, (3.4)

где коэффициент неравномерности в полосе пропускания определяется как

, (3.5)

k = 1, 2,…, n .

Передаточная функция подлежащая реализации примет вид [4]:

– для четных n :

, (3.6)

для нечетных n :

, (3.7)

где , – комплексно-сопряженные корни.

Далее составляются пары комплексно-сопряженных корней и записывается передаточная функция в виде произведения полиномов второго порядка.

Дальнейшие преобразования операторной передаточной функции аналогично преобразованиям аппроксимации по Баттерворту.

Раздел 4

Построение частотных характеристик

Для определения частотных характеристик фильтра необходимо перейти от передаточной функции H (z ) к H (), для чего выполняют замену .

Далее выполняются преобразования по формуле Эйлера:

Производится замена:

где – нормированная частота,

При расчетах n принимать равно 1, так как функция периодическая.

С учетом введенных замен комплексная передаточная функция может быть представлена:

,

– модуль: ;

– аргумент:.

По этим зависимостям можно рассчитать АЧХ и ФЧХ.

Раздел 5

Построение схем цифрового фильтра

Обобщенная структурная схема ЦФ во временной области изображена на рисунке (5.1):

При канонической реали- зации по передаточной функции число умно- жителей равно сумме количества коэффициентов и ; используется 2 сумматора, количество ре- гистров сдвига равно M .

Обобщенная структурная схема ЦФ непосредственной реализации изображена на рисунке (5.2):

Рисунок 5.2 – Структурная схема канонической реализации фильтра (операторная схема замещения)

Реализовать цифровой фильтр также возможно с помощью каскадного соединения звеньев второго и первого порядков. Для этого передаточную функцию необходимо представить в виде произведения полиномов второго порядка, если порядок фильтра чётное число, или в произведения полиномов второго и первого порядков, если порядок фильтра нечётное число:

– для четного порядка фильтра

,

где

;

– для нечетного порядка фильтра

,

где

,

,

где – порядок фильтра.

Чтобы представить полином в произведения можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1) находят корни полиномов числителя и знаменателя;

2) записывают числитель и знаменатель в виде

;

3) составляют пары комплексно-сопряженных корней и записывают произведение полиномов второй степени для четного порядка фильтра и произведение полиномов второго порядка и полинома первого порядка для нечетного порядка фильтра.

Для полученных полиномов составляют канонические схемы и соединяют их каскадно, как изображено на рис. 5.3.

Рисунок 5.3 – Структурная схема каскадного соединения звеньев:

а – схема фильтра нечетного порядка;

б – схема фильтра четного порядка

На рис. 5.4 изображены канонические звенья структурных схем первого и второго порядков.

Рисунок 5.4 – Структурная схема канонического звена:

а – второго порядка; б – первого порядка

Раздел 6

Синтез цифровых полосовых фильтров с характеристиками Баттерворта и Чебышева

Существуют два метода синтеза цифровых полосовых фильтров, которые отличаются используемыми прототипами:

1 Синтез полосового цифрового фильтра по аналоговому ФНЧ прототипу;

2 Синтез полосового цифрового фильтра по цифровому ФНЧ прототипу.

При первом методе необходимо синтезировать аналоговый ФНЧ прототип, аналогично тому, как это сделано в разделах 2 и 3 данного методического руководства. Далее к передаточной функции прототипа применяют преобразование ФНЧ-ПФ вида:

Далее к полученной передаточной функции применяют билинейное z-преобразование.

В связи с громоздкостью дальнейших вычислений, проектирование цифрового полосового фильтра можно выполнить, прибегнув к программе Filter Solutions или ей аналогичной.

Программа Filtr Solution предназначена для синтеза фильтров как аналоговых так и цифровых.

Ниже приведен внешний вид программы:

Рисунок 6.1 – Главное окно программы

Программа имеет следующие панели:

– Filter Type – выбор типа аппроксимации фильтра (используемые значения Butterworth – Баттерворта, Chebyshev1– Чебышева 1 рода);

– Filter Class – тип фильтра ( Low Pass – ФНЧ, High Pass – ФВЧ, Band Pass – Полосовой, Band Stop – Режекторный);

– Filter Attributes – параметры фильтра:

Standart Pass Band Attenuation – стандартное затухание в полосе пропускания (для фильтра Баттерворта – 3 дБ, если задано другое значение, то снять галочку и ввести требуемое значение),

Order – порядок (если порядок не задан то нажать Set Order и ввести значения затухания в полосе задерживания (StopBandAttenuation) и ширину полосы задерживания (пропускания)(Stop(Pass)BandWidth)),

PassBandFreqensy – граничная частота полосы пропускания ,

Lower Coner Freq – нижняя граница полосы пропускания,

Upper Coner Freq – верхняя граница полосы пропускания;

– Graph Limits – пределы вывода графиков частотных характеристик:

Min Freq – нижняя граница диапазона вывода графика;

Max Freq – верхняя граница диапазона вывода графика;

– Freq Scale – единицы измерения частоты

Rad/Sec – рад/сек,

Hertz – герцы,

Log – логарифмические единицы;

– Implementation – реализации фильтра:

Passive – аналоговый пассивный,

Active – аналоговый активный,

Digital – цифровой.

– Design – вывод характеристик фильтра:

Transfer Function – передаточная функция,

Time Response – временные характеристики,

Pole Zero Plots – диаграмма нулей и полюсов,

Frequency Response – Частотные характеристики.

Примеры выполнения курсовой работы

Приложение А

Билинейное z -преобразование

Преобразование заключается в том, что в операторной передаточной функции аналогового фильтра Н _а (р ) производится замена оператора р на , в результате чего функция из р -области переходит в z -область :

, (А.1)

где k = 2f _{­ д} , а f _д – частота дискретизации.

На рис. A.1 изображена процедура преобразования частотных спектров. Это преобразование приводит к смещению частотной характеристики цифрового фильтра относительно аналогового прототипа. Поэтому перед z -преобразованием применяем тангенциальное преобразование к граничным частотам фильтра:

(А.2)

Для частот цикличных это выражение запишется так:

(А.3)

Частота дискретизации f _д теоретически выбирается на основании теоремы отсчетов [2]. Практически эта частота.

Рисунок А.1 – Связь между частотами аналогового

и цифрового фильтра .

Приложение Б

Пример расчета требований к прототипу цифрового фильтра

Используя данные для ПФ, рассчитать цифровой ФНЧ прототип.

Нижняя граница полосы пропускания f _{1 n} = 7060 Гц

Верхняя граница полосы пропускания f _{2 n} = 10430 Гц

Нижняя граница полосы задерживания f _1з = 5560 Гц

Верхняя граница полосы задерживания f _2з = 12990 Гц

Неравномерность в полосе пропускания А ₁ = 0,1773 дБ

Затухание в полосе задерживания А ₂ = 33,9 дБ

Для построения шаблона требований к частотной характеристике передаточной функции ПФ определим H (f ) по формуле (1.1):

,

.

Рисунок Б.1 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового полосового фильтра:

а – затухания; б – коэффициента передачи

По известным требованиям к ПФ определяем требования к ФНЧ.

Ширина полосы пропускания (ПП) ФНЧ-прототипа f ₁ будет равна ширине ПП ПФ, а граничная частота полосы задерживания ПЗ f ₂ – разности граничных частот ПЗ ПФ:

= 10,43 – 7,06 = 3,37 кГц

= 12,99 – 5,56 = 7,43 кГц

Рисунок А.2 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового фильтра нижних частот:

а – затухания; б – коэффициента передачи

Определим частоту дискретизации f _д ≥ 2,3 f _{2 a} = 20 кГц.

Произведем операцию преобразования частот для цифрового фильтра. Частоты f _1цп и f _2цп рассчитываем по (А.3):

кГц;

кГц.

Рисунок А.3 – Амплитудно-частотная характеристика

прототипа цифрового фильтра.

Приложение В

Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой

Баттерворта по аналоговому прототипу

Определяем порядок фильтра по формуле (2.1):

3,96,

примем n = 4.

Запишем квадрат модуля передаточной функции Баттерворта полученного порядка:

.

Найдем С _n по формуле (2.5):

С = 10^0,1∙0,1773 – 1 = 0,0417.

Вычислим корни полинома Баттерворта по (2.7):

Данные корни равномерно распределены по окружности с единичным радиусом.

Составим комплексно-сопряженные пары:

Искомый полином будет иметь вид:

.

Передаточная функция при С _n = 1 будет иметь вид:

.

Передаточная функция подлежащая реализации при С _n ≠ 1 примет вид:

где .

На рис. В.1 изображено расположение корней полинома Баттерворта, рассчитываемого фильтра.

Далее к каждому сомножителю применяем билинейное z-преобразова- ние, предварительно выполнив норми- рование относительно граничной частоты полосы пропускания:

,

Эти выражения подставляем в формулу H _Б (p ) и произведем преобразования:

Окончательный вариант передаточной функции цифрового фильтра подлежащий реализации имеет вид:

Приложение Г

Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Чебышева по аналоговому прототипу

Определяем порядок фильтра по формуле (3.1):

Примем n = 3.

Вычислим коэффициент неравномерности в полосе пропускания по формуле (3.5):

.

Найдем корни передаточной функции:

На рис. Г.1 изображено расположение корней полинома Чебышева аналогового ФНЧ.

Составим передаточную функцию

Далее к каждому сомножителю применяем билинейное z-преобразование аналогично фильтру Баттерворта:

Окончательный вариант передаточной функции цифрового фильтра подлежащий реализации имеет вид:

.

Приложение Д

Построение частотных характеристик цифрового ФНЧ Баттерворта

Приведем передаточную функцию Н(z) к классическому виду:

Произведем замену :

Введем обозначения:

где – модуль передаточной функции,

– аргумент передаточной функции.

По этим формулам можно рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтров.

Приведем пример расчета значения для граничной частоты полосы пропускания данного фильтра:

,

,

– при условии, что угол изначально был задан в диапазоне от до . При построении графиков часто используется другой диапазон измерения углов: отдо . Ниже приведен график арктангенса для данного диапазона углов:

В этом случае :

На рис. Д.2 и Д.3 изображены АЧХ и ФЧХ соответственно проектируемого цифрового ФНЧ Баттерворта, построен- ные с помощью программы Filter Solutions.

На рис. Д.3 изображена ФЧХ с ложными скачками фаз на частотах 4,5 кГц и 15,5 кГц. Данные скачки обусловлены тем, что при построении графика арктангенс вычислялся в диапазоне от до , в реальности ФЧХ продолжает спадать до частоты дискретизации на которой имеется действительный скачок фаз.

На практике зачастую пользуются групповым временем пробега входного сигнала (ГВП), поэтому многие программы имеют возможность построить этот параметр. На рис. Д.4 приведен график ГВП данного фильтра построенный с помощью программы Filter Solutions.

Рисунок Д.2 – АЧХ проектируемого цифрового ФНЧ

Рисунок Д.3 –ФЧХ проектируемого цифрового ФНЧ

Рисунок Д.4 –ГВП проектируемого цифрового ФНЧ

Приложение Е

Построение схемы цифрового фильтра

Построим схему цифрового фильтра Баттерворта в канонической форме

Рисунок Е.1 – Структурная схема канонического фильтра

Баттерворта 4 порядка.

Построим схему цифрового фильтра Чебышева 3 порядка.

Рисунок Е.2 – Структурная схема канонического фильтра

Чебышева 3 порядка.

Список условных обозначений

ПП – полоса пропускания

ПЗ – полоса задерживания

ФНЧ – фильтр нижних частот

ФВЧ – фильтр верхних частот

ПФ – полосовой фильтр

РФ – режекторный фильтр

а – индекс, обозначающий параметры аналогового фильтра прототипа

ц – индекс, обозначающий параметры цифрового фильтра прототипа

f _д (ω_д ) – часта дискретизации;

Т _д – период дискретизации;

f _ц (ω_ц ) – частоты проектируемого цифрового фильтра

f _а (ω_а ) – частоты аналогового фильтра прототипа

f _1ц (ω_1ц ) – граничная частота полосы пропускания цифрового ФНЧ и ФВЧ (или частота нижней границы полосы пропускания для ПФ и РФ)

f _2ц (ω_2ц ) – частота верхней границы полосы пропускания цифрового ПФ и РФ

f _зц (ω_зц ) – граничная частота полосы задерживания цифрового ФНЧ и ФВЧ

f _1зц (ω_1зц ) – частота нижней границы полосы задерживания цифрового ПФ и РФ

f _2зц (ω_2зц ) – частота верхней границы полосы задерживания цифрового ПФ и РФ

f _1а (ω_1а ) – граничная частота полосы пропускания аналогового прототипа ФНЧ и ФВЧ

f _за (ω_за ) – граничная частота полосы задерживания аналогового прототипа ФНЧ и ФВЧ

А ₁ – неравномерность АЧХ в полосе пропускания

А ₂ – затухание в полосе задерживания

ω₀ – средняя частота полосы пропускания для ПФ или полосы задерживания для РФ

Список рекомендуемой литературы

1. Айфичер Э.С., Барри Дж.У.: Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание.

2. А.Оппенгейм, Р.Шафер: Цифровая обработка сигналов, Москва: Техносфера, 2006.– 856с.

3. Воробиенко П.П.: Теория линейных электрических цепей. Сборник задач и упражнений: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1989. – 328с.

4. Белецкий А.Ф.: Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1986. – 544с.

5. Лем Г.: Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация. – М.:МИР, 1982.