Реферат: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 2

1. Уравнение в полных дифференциалах. 3

2. Интегрирующий множитель. 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 8

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 10

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных[1] .

Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

1. Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах , т. е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что

dF (t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) О D (f) = D (g)).

Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:

F (t , x ) = C (t , x Î D ¹ ).

Доказательство. Пусть функции t = y(s ), x = j(s ) определены на некотором промежутке J Ì R . Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C эквивалентен тождеству

[f (t , x )dx + g (t , x )dt ]|_{t = y , dt = y¢ ds , x = j , dx = j¢ ds} º 0,

которое, в свою очередь эквивалентно тождеству

[d F(t , x )]|_{t = y , dt = y¢ ds , x = j , dx = j¢ ds} º 0.

Последнее в точности означает, что

d [F(t , x )]|_{t = y , x = j} º 0 и y, j Î D ¹ ,

или, что, то же,

F[y(s ), j(s )] º C и y, j Î D ¹ .

Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C

Û F(t , x ) = C (t , x Î D ¹ ).

Для уравнения с разделяющимися переменными f (x )dx – g (t )dt = 0 существует функция F(t , x ) = F (x ) – G (t ), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.

Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах [2] . Пусть в уравнении

f ₁ (x )dx ₁ + f ₂ (x )dx ₂ + ... + f_n (x )dx_n = 0

функции f_i (x) = f_i (x₁ , ..., x_n ) непрерывны вместе со своими частными производными ¶f_i /¶x_k (i ¹ k) на декартовом произведении интервалов J₁ × J₂ ×... × J_n = D.

Тогда левая часть уравнения f ₁ (x )dx ₁ + f ₂ (x )dx ₂ + ... + f_n (x )dx_n = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F(x) в том и только том случае, если

При этом функция F находится по формуле

(x⁰ _k Î J_k — произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения f ₁ (x )dx ₁ + f ₂ (x )dx ₂ + ... + f_n (x )dx_n = 0 можно записать в виде:

F(x ) = C (x Î D ¹ ).

В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными

f ₁ (x ₁ )dx ₁ + f ₂ (x ₂ )dx ₂ + ... + f_n (x_n )dx_n = 0,

если функции f_k : J_k ® R непрерывны; полный интеграл имеет вид

F ₁ (x ₁ ) + F ₂ (x ₂ ) + ... + F_n (x_n ) = 0,

где F_k –первообразная f_k (k = 1, ..., n ).

2. Интегрирующий множитель.

Итак, если для уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:

не выполнено, то иногда удается найти функцию m = m(t , x ), такую, что для уравнения

m · f (t , x )dx + m · g (t , x )dt = 0

оно уже выполнено. В этом случае функция m называется интегрирующим множителем . Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t.

Если, например, считать, что m зависит только от x, то

и аналог условия

для m · f (t , x )dx + m · g (t , x )dt = 0 выглядит так:

Если выражение в квадратных скобках не зависит от t , то

есть линейное однородное уравнение относительно m = m(x ); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C .

Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t .

Найдем интегрирующий множитель m = m(x ) для уравнения

(3t ² /x ² – 1)dt + (3 – 2t /x )dx = 0

(оно получено почленным делением уравнения (3t ² – x ² )dt + (3x ² – 2tx )dx = 0 на x ² , поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель m = x ² существует). Выпишем для уравнения (3t ² /x ² – 1)dt + (3 – 2t /x )dx = 0, умноженного почленно на m, условие полного дифференциала:

,

Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t , искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения:

В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель m = x ² .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений[3] .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.

Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Если в дифференциальном уравнении

функции М (х , у ) и N (x , y ) удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что

Тогда из уравнения

следует, что

что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U . Ее можно найти в виде:

любые числа, входящие в область определения функций М и N , а – произвольная постоянная.

Интегрирующий множитель, множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения

обращается в полный дифференциал (дифференциальное исчисление) некоторой функции V(x, y). T. о., если

Если множитель мю (x,y) известен, то задача интегрирования уравнения (*) сводится к квадратурам, т. к. остаётся найти функцию U(x, y) по её полному дифференциалу[4] .

В нашем реферате мы рассмотрели уравнение в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 2005. - 384с.

2. Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2002.

4. Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 2003.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2001, ч. I, II.

6. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с.

7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.

8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 2002.

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.

10. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения:примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 2003. – 383 с.

[1] Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.

[2] Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с.

[3] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.

[4] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.