Реферат: Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб посо­бие для студентов пед ин-тов по спец. 2104 «Математика» и21056 «Физика» /А.

МАТЕРИАЛЫ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТОВ 3 КУРСА (гр. 303, 304, 305)

Занятие № 1.

Тема «Математика как наука и как учебный предмет в школе».

Литература

1. Ананчанка, К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе / К.А. Ананчанка. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997

2. Гнеденко, Б.В. Математика в современном мире и математическое образование / Б.В. Гнеденко // Ма­тематика в школе. - 1991. - №1.

3 . Гусев, В.А.Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А.Гусев. – М.: Вербум, 2003

4. Метельский, Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. по­собие для вузов. 2-е изд., перераб./ Н. В. Метельский. — Минск, 1982.

5. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.

Задания для самостоятельной работы

1. Охарактеризуйте основные этапы развития математики как науки.

2. Раскройте взаимосвязь и соотношение математики как науки и как учебного пред­мета в истории развития математики.

3. Охарактеризуйте методику преподавания математики как науку.

4. Сформулируйте предмет, цели и задачи методики преподавания математики, раскройте их содержание.

5. Покажите связь методики обучения математике с философией, педагогикой, мате­матикой и историей математики, возрастной физиологией, информатикой.

6. Охарактеризуйте методы исследования в методике обучения математике.

7. Обозначьте основные противоречия процесса обучения математике. Какие процессы, происходящие в современной школе, можно объяснить обострением некоторых из перечисленных противоречий?

8. Перечислите актуальные проблемы методики преподавания математики и раскрой­те их содержание.

Методические рекомендации

Математика как наука

Развитие науки математики оказывает непосредственное влияние на обучение математике, то есть на теорию и методику преподавания этой науки. Вопрос о предмете математики как науки является первостепенным как в теории преподавания математики, так и в практической деятельности учителя математики. В истории математики обычно выделяют четыре периода. При изучении данного вопроса обратите внимание, что начало каждого нового периода развития математики знаменовалось выдающимся научным достижением, определившим переход математики в новое качественное состояние .

Математика — слово, пришедшее к нам из Древней Греции: mathema переводится как «познание, наука». Математика — это наука о количест­венных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Первый период — это период зарождения математики как самостоя­тельной научной дисциплины. Его начало теряется в глубине истории. Он продолжался приблизительно до Vl-V вв до н.э. Период зарождения математики связан с практическими вычислениями и измерениями, с формированием понятия числа и фигуры. Превращение математики в формализованную нау­ку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции.

Второй период — период элементарной математики (математики по­стоянных величин). Он ознаменовался построением геометрии как самостоятельной науки в знаменитых евклидовых «Началах». Этот период характеризуется тем, что математика выступает как само­стоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фи­гура) и свои методы исследования. Он продолжался приблизительно до XVII в., когда создание исчисления бесконечно малых определило начало нового третьего периода.

Третий период — это период математики переменных величин (классической высшей математики). Он длился с XVII в. до XIX в. Третий период характеризуется созданием и разви­тием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии.

Четвертый период — это период создания математики переменных отношений (XIX—XX вв.). Началом периода явилось создание Н.И.Лобачевским и Я.Больяем в первой половине XIX неевклидовой геометрической системы. Широко используется метод моделирования. Возникли различные разделы математики. Основная черта данного периода — это интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики.

В XIX в. происходит новое значительное расширение области при­ложений математического анализа. В качестве основного аппарата возникших в XIX в. областей механики (механики непрерывных сред, баллистики) и физики (электродинамики, теории магнетизма, термодинамики) усиленно развивается теория дифференциальных уравне­ний, в особенности дифференциальных уравнений с частными произ­водными. В XVIII в. были решены отдельные уравнения такого вида.

Общие методы математики начали развиваться лишь в XIX в. и продолжают разви­ваться сейчас в связи с задачами физики и механики.

Возникли новые ветви математики: вычислительная математика, математическая логика, теория вероятности.

Математика находится в непрерывном развитии, что обусловлено, во-первых, потребностями жизненной практики, а во-вторых — внут­ренними потребностями становления математики как науки. Матема­тика оказывает существенное влияние на развитие техники, экономи­ки и управления производством. «Математизация» различных облас­тей знаний, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности человека, быстрый рост вычислительной техники — все это повлекло за собой создание целого ряда математиче­ских дисциплин: теории игр, теории информации, математической статистики, теории вероятности и т.д. На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла дискретная математика. Вопросы о наилучшем управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях – к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Математика как учебный предмет

Приступая к изучению этого вопроса, важно понимать, что содержание школьного курса математики это не механический перенос отобранных разделов математики в школу.

В школьный курс математики должна быть отобрана та часть матема­тических знаний (обязательная), которая даст общее представление о науке математике, поможет овладеть математическими методами в ее приложениях и будет способство­вать необходимому развитию мышления школьников.

Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи с расширением целей образования, появлением новых требова­ний к школьной подготовке, изменением стандартов образования. Кроме того, непрерывное развитие самой науки, появление новых ее отраслей и направлений влекут за собой обновление содержания обра­зования: сокращаются разделы, не имеющие практической ценности, вводятся новые перспективные и актуальные темы. Не стоят на месте и педагогические науки, новый педагогический опыт вводится в практи­ку работы массовой школы.

Математика как учебный предмет в школе представляет собой эле­менты арифметики, алгебры, начал математического анализа, евкли­довой геометрии плоскости и пространства, аналитической геометрии, тригонометрии.

От математики как науки математика как учебный предмет отлича­ется не только объемом, системой и глубиной изложения, но и при­кладной направленностью изучаемых вопросов.

Учебный курс математики постоянно оказывается перед необходи­мостью преодолевать противоречие между математикой — развиваю­щейся наукой — и стабильным ядром математики — учебным предме­том. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания математического образования, сближения учебного предмета с нау­кой, соответствия его содержания социальному заказу общества.

Для современного этапа развития математики как учебного предме­та характерны:

• жесткий отбор основ содержания;

• четкое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения;

• усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью;

• систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.

Дальнейшее совершенствование содержания школьного матема­тического образования связано с требованиями, которые предъявляет к математическим знаниям учащихся практика, — промышленность, производство, военное дело, сельское хозяйство, социальное переуст­ройство и т.д.

Обратите внимание, что движение за гуманизацию, демократизацию и деидеологизацию среднего образования, характерное для развития отечественной педа­гогики 90-х г. XX в., оказало определенное влияние и на содержание школьного математического образования. Идея дифференциации обучения проявилась в возникновении от­носительно нового типа школ (лицеев, гимназий, колледжей и др.) или классов различных направлений (гуманитарного, технического, экономического, физико-математического и др.).

В РБ в настоящее время дифференциация образования реализуется посредством вариативного компонента при проведении факультативных занятий.

Занятие № 2.

Тема « Реформистское движение за модернизацию математического образования. Основные принципы среднего математического образования на современном этапе. Характеристика основных программ и учебников по математике для средней школы».

Литература

1. Адукацыйны стандарт вучэбнага прадмета «Матэматыка» (1 – XI класы) //Матэматыка: праблемы выкладання. – 2009. - № 4.

2. Гнеденко, Б.В. Математика в современном мире и математическое образование / Б.В. Гнеденко // Ма­тематика в школе. - 1991. - №1.

3. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования / Г.В. Дорофеев //Математика в школе. -1990.- № 6.

4. Концепция учебного предмета «Математика» //Матэматыка: праблемы выкладання. – 2009. - № 4.

5. Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся общеобразовательных учреждений по учебным предметам //Матэматыка: праблемы выкладання. – 2009. - № 4.

6. Саранцев, Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях / Г.И. Саранцев // Математика в школе. – 1999. - № 6.

Задания для самостоятельной работы

1. Раскройте причины и дайте характеристику международного движения за реформу школьного математического образования конца 19 в. - начала 20 в.

2. Проанализируйте особенности реформы 80-х годов в СССР, коррективы программы по математике 1985 года.

3. Сформулируйте основную задачу перестройки школьного образования на современном этапе развития общества.

4. Охарактеризуйте функции обучения математике. Раскройте содержание понятий гуманизация и гуманитаризация математического образования.

5. Сформулируйте цели математического образования. Охарактеризуйте принципы отбора содержания математического образования.

6. Изучите программы по математике. Выпишите цели обучения математике.

Методические рекомендации

Главной задачей изучения истории реформирования школьного математического образования является лучшее понимание процессов, происходящих в современной школе.

Приступая к изучению данной темы, важно понимать, что до конца 19 в. – начала 20 в. математика, хотя и развивалась гигантскими шагами, ее основания оставались классическими. В свете новых концепций, которые разработаны в конце 19 в. – начала 20 в. и легли в основу современной математики, стало ясно, что школьное математическое образование со своими неизменным программами и методами сильно оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, методов, языка, от ее приложений.

Следует обратить внимание, что главным предметом исследования и обсуждения всех этапов модернизации является содержание математического образования.

Международное движение за реформу школьного математического образования конца 19 в. - начала 20 в.

Основной причиной движения за реформу школьного математического образования конца 19 в. - начала 20 в. (до 1914 г.) стало несоответствие содержания образования требованиям науки и жизни того времени. Начало 20 в. ознаменовалось широким международным движением за реформу, охватившим все развитые страны (Россию, Францию, Германию, Англию и др.). В 1907/08 уч. году в Геттингенском университете Ф.Клейн прочитал свои знаменитые лекции, призванные содействовать реформе (изданы в русском переводе под названием «Элементарная математика с точки зрения высшей» /в 2 кн.- М.: Наука, 1987).

Развитие национальных реформистских движений побудило IV Международный конгресс математиков, проходивший в 1908 году в Риме, создать международную комиссию для изучения преподавания математики в средних школах разных стан с целью реформирования. Президентом Центрального комитета этой комиссии стал проф. Ф.Клейн. Международная комиссия провела свои конференции в Брюсселе (1910), Милане (1911), На V Международном конгрессе математиков в Кембридже (1912) и в Париже (1914).

Международной комиссией был собран и издан обширный и ценный материал о постановке и проблемах преподавания математики в разных странах. Начавшаяся в 1914 году мировая война приостановила работу комиссии, поэтому вторая важная ее задача – выработка проекта реформы математического образования – осталась невыполненной.

Особенности российской реформы школьного математического образования конца 19 в. - начала 20 в.

При изучении этого вопроса постарайтесь проследить, насколько идейное содержание российской реформы реализовано в современной школе.

Одной из самых содержательных реформ начала 20 в. была российская, которая наметилась в период Всероссийских съездов преподавателей математики (1-й – 1911 г., 2-й – 1913 г., велась подготовка по проведению 3-го на рождественских каникулах 1917/18 учеб. года). Реформа явилась творе­нием большого коллектива опытных, талантливых ма­тематиков, педагогов и ученых. Материалы Всероссий­ских съездов преподавателей математики наиболее пол­но раскрывают идейное содержание российской реформы. Укажем основные из этих идей:

— связь обучения с жизнью, устранение отрыва школьного курса математики от требований жизни;

— сближение школьного курса математики с матема­тической наукой, доступное введение в этот курс важ­нейших идей современной математики, в частности идеи функциональной зависимости;

— обеспечение преемственности между курсами ма­тематики средней и высшей школ, подлинное, а не фор­мальное согласование их программ;

— введение в курс всех типов средней школы эле­ментов высшей математики (основ аналитической гео­метрии и начал математического анализа), обмен пер­вым опытом их преподавания в реальных училищах и кадетских корпусах;

— разделение курса математики в старших классах па несколько ветвей с различными программами по ма­тематике (идея фуркации) с целью лучшего удовлетво­рения индивидуальных запросов учащихся и более эф­фективного развития их способностей, в частности мате­матических. Это должно способствовать воспитанию юных талантов, наилучшей подготовке к обучению в высших учебных заведениях и к практической работе;

— введение в курс средней школы элементов теории вероятностей с приложениями в статистике;

— сближение между собой различных математиче­ских предметов и математики с другими предметами ес­тественного цикла (идея фузионизма);

— приведение методов преподавания в соответствие с психологическими особенностями возраста учащихся, концентрическое построение программы, выделение пропедевтических курсов с конкретно-индуктивным методом обучения;

— широкое применение лабораторного, генетического и других новых методов в обучении математике;

— внедрение выводов экспериментальной психологии о необходимости активизации познавательной деятельности учащихся в процессе обучения, широкое использо­вание различных форм их самостоятельной работы на уроках математики;

— пересмотр целей обучения математике в школе в соответствии с требованиями времени, признание важно­сти «материальной» цели наряду с «формальной»;

— сообщение на уроках сведений из истории матема­тики, использование в процессе обучения отдельных эта­пов исторического пути развития математических зна­ний;

— методическое усовершенствование систематическо­го курса арифметики путем изменения традиционного порядка изучения дробей и выдвижения на первый план изучения десятичных дробей;

— упрощение и усовершенствование начального кур­са арифметики (отказ от надуманных определений по­нятий, от ряда искусственных приемов решения задач, от слишком сложных и трудных задач, широкое применение иллюстративного дидактического материала, измерений, выполняемых учащимися на уроке, и т. д.);

— введение в курс средней школы приближенных и сокращенных вычислений;

— разнообразное использование графиков и графи­ческого метода в школьном курсе;

— раннее интенсивное развитие интуиции простран­ства, введение начального курса наглядной геометрии в младших классах;

— использование идеи движения и геометрических преобразований в систематическом курсе геометрии;

— знакомство старшеклассников с неевклидовой гео­метрией.

Сразу после революции 1917 года в течение 20-х годов прогрессивное наследие российского движения за реформу нашло достаточно полное отражение в преподавании математики. В программах для 9-летней школы по математике содержались элементы аналитической геометрии, анализа и теории вероятностей. Были переизданы хорошие дореволюционные реформистские учебники. Однако с конца 20-х годов вводится в школе «комплексная система обучения», а затем «метод проектов», что растворило математический учебный материал в общих комплексах сведений о природе, обществе, родине, доме и т.д. и не обеспечивало систематических знаний по математике.

В 30-х годах комплексно-проектная система заменена раздельным систематическим изучением учебных дисциплин. Однако в программе по математике были опущены основы высшей математики и некоторые другие прогрессивные элементы реформистского наследия.

Реформа школьного математического образования 1965-1968 годов в СССР

Обратите внимание на радикальные изменения в программе математического образования в средней школе, которые произошли в ходе этой реформы. Постарайтесь сформировать личное мнение по этому поводу. Какое влияние, на ваш взгляд, оказала эта реформа на дальнейшее развитие школьного и высшего математического образования?

С 50-х годов 20 в. движение за реформу математического образования в СССР набирает новую силу.

В реформистском движении этого этапа выделяются три основные направления, которые делают акцент на:

а) общеобразовательный характер образования,

б) прикладной, политехнический характер образования,

в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе.

Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной. Поэтому попытки разных стран перестроить школьное математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии "классических" "ядра" и "современных" тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу. Дело в том, что очень немногое из "ядра" (традиционного содержания школьного курса математики) может быть исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как его традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, то есть математики до 17 века).

Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, то есть реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.

Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в СССР. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента АПН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы :

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей - обучение счету - курс математики, то есть арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4-5 классы - курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием "математика", 6-8 классы - систематические курсы алгебры и планиметрии; 9-10 классы - курс "алгебра и начала анализа" и систематический курс стереометрии.

3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения материала, названиями предметов, наличием отдельных учебников; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название, но тоже разделен на три этапа: 4-5 -пропедевтический курс; 6-8- систематический курс планиметрии, завершающий её изучение; 9-10 -систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня и т.п.).

5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления, некоторые сведения об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой не просто новый дополнительный материал образовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе, традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в курсе не как исходные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).

7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения - факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый - "Дополнительные главы и вопросы математики" - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; и изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, этот вид занятий был призван помочь учителям освоиться с новым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в изменяющиеся программы. При этом предполагалось, что будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, мог в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - "Избранные вопросы математики" (программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендовался, в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Факультативные занятия были призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составлялись так, что они были продолжением друг друга, образовывали некоторую идейно теоретически законченную систему. Оценка по факультативным занятиям вносилась в аттестат.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, которые начали создаваться начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо себя зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физико-математические школы-интернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечение прихода в науку талантливых людей, разработка содержания и методики преподавания современных вопросов математики.

Курс математики в школах с математической специализацией состоял из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Эти предметы и физика являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладным предметом является курс "Программирование и вычислительная математика", но это могут быть и другие приложения математики.

Особенности реформы математического образования 80-х годов 20 ст. в СССР

Работа по совершенствованию содержания школьного обучения происходила постоянно, следующий этап реформы 80-е годы. В эти года при сохранении всего того ценного, что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки и техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки, учитываются просчеты предыдущих изменений.

Так, в 1980 г. была принята программа по математике, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников, что выразилось в отказе от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и уходе от чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализованным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов была подготовлена новая учебная программа по математике для школы. В ней предпринята очередная попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в неё внесены следующие изменения:

1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы; начальная школа – 1-4 классы, сохранены три последующие этапа средней школы – 5-6, 7-9, 10-11 классы.

2) В структуре программы появились новые разделы ("Организация учебно-воспитательного процесса", "Рекомендации по оценке, знаний", "Межпредметные связи" и другие), уточняющие цели обучения математике на каждом из этапов. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.

3) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгрузило курс алгебры старших классов, дополнило линию тождественных преобразований выражений, усилило вычислительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней школы.

4) Введен новый курс "Основы информатики и вычислительной техники". Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.

5) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы "Тематическое планирование" разработаны "Обязательные результаты обучения", определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.

Современный этап реформы школьного математического образования

Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и на её основе НИИ СиМО АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе.

Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; её основные направления - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создание возможностей для проявления индивидуальности, как учащегося, так и учителя.

Реформа школы в Республике Беларусь стала составной частью социально-экономических преобразований, происходивших в суверенном государстве в 90-х годах 20 ст. В 1996 голу Кабинетом Министров РБ одобрена концепция реформы общеобразовательной школы. Министерством образования РБ разработана программа поэтапного перехода на 12-летний срок обучения. В 2006 г. Принят Закон Республики Беларусь «Об общем среднем образовании». Реформа 90-х годов общеобразовательной школы предполагала дифференциацию образования. Дифференциация математического образования реализовывалась через выделение базового, повышенного и углубленного уровней обучения математике.

Одной из принципиальных позиций реформы школы является определение начала обучения детей с 6 лет.

С 2002 года введена десятибалльная уровневая система оценки результатов учебной деятельности учащихся в учреждениях, обеспечивающих получение общего среднего и профессионально-технического образования.

С 1 сентября 2008/2009 учебного года в Республике Беларусь осуществляется переход общеобразовательных учреждений на 11-летнее общее среднее образование. Определена следующая структура предмета «Математика» общеобразовательной школы: 1 – 4, 5 – 6, 7 – 9, 10 – 11 классы. Предмет «Математика» на протяжении 11 лет изучения строится на тесной взаимосвязи арифметического, алгебраического и геометрического компонентов. В 1 – 4 и 5 – 6 классах алгебраический и геометрический компоненты рассматриваются на пропедевтическом уровне. В 7 – 9 и 10 – 11 классах могут выделяться алгебраический и геометрический компоненты.

Учащиеся могут изучать математику в системе основного и дополнительного образования. Основное образование осуществляется в рамках инвариантного и вариативного компонентов. Инвариантный компонент основного образования по математике реализуется через уроки в соответствии с учебным планом. Вариативный компонент основного образования по математике реализуется посредством факультативных занятий.

К постоянным формам внеурочной работы в рамках дополнительного образования относятся: математический кружок, интеллектуальный клуб, заочная математическая школа, групповая и индивидуальная работа с одаренными учащимися и др.

Непостоянные формы работы по математике могут проводиться как в самих общеобразовательных учреждениях, так и во внешкольных организациях, вузах. Эти формы ориентированы на участие в предметных олимпиадах, конференциях, подготовку и проведение математических вечеров и конкурсов, выполнение научных ученических работ и др.

Для того, чтобы иметь личное убеждение в необходимости математического образования каждого члена современного общества, разобраться в вопросах дифференциации обучения математике, необходимо определиться с понятиями образование и математическое образование .

Обучение математике включает функции: образовательную, воспи­тательную и развивающую, а также: информационную, эвристическую, прогностическую, эстетическую, практическую, контрольно-оценоч­ную, корректирующую и интегрирующую.

Образовательная функция предполагает овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях. Образовательная функция во многом обусловливает развитие мировоззрения школьников, которое представляет собой синтез знаний, умений и убеждений.

Воспитательная функция характеризуется формированием интереса к изучению математики, развитием устойчивой мотивации к учебной деятельности.

Развивающая функция заключается в формировании познаватель­ных психических процессов и свойств личности, таких как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, способности, а также в формировании логических приемов мысли­тельной деятельности (анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и т. п.), общеучебных приемов.

Информационная функция заключается в том, что в процессе обуче­ния ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения на те или иные концепции. В процессе обучения математике ученик полу­чает достаточно большой объем информации, знакомится с различны­ми приложениями математики, новыми открытиями в области мате­матики.

Эвристическая функция предполагает создание учителем в процессе обучения математике условий, которые обеспечивают развитие различных способностей ре­бенка. К эвристической функции обучения относится применение учителем эвристических приемов и методов в обучении математике, умение применять их в различных конкретных ситуациях.

Прогностическая функция математики ориентирована на формиро­вание у школьников прогностических умений: обнаруживать нере­шенные проблемы, выдвигать гипотезы, видеть альтернативные реше­ния проблем и возможные последствия.

Эстетическая функция предусматривает приобщение школьников в процессе изучения математики к красоте, воспитание у них эстетических вкусов. Учебный материал должен быть изложен логически последовательно, системно и привле­кательно.

Практическая функция обучения математике заключается в ориентации обучения на ре­шение задач, на формирование умения математически исследовать яв­ления реального мира, на практическую направленность учебного ма­териала. Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач. Движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер.

Контрольно-оценочная функция предполагает осуществление кон­троля, коррекции, оценки знаний и умений школьников по математике. Сегодня в школах с этой целью проводят различные виды самостоятельных и контрольных работ, тестирования.

Корректирующая функция понимается как корректировка инфор­мации, получаемой учащимися. Значение и сущность информации, полученной из различных источников, может быть различной. Учи­тель должен предлагать учащимся откорректированную информа­цию. Он должен помочь ученику правильно разобраться в ней и оце­нить ее.

Интегрирующая функция обучения математике заключается в формировании системности знаний, в формировании условий для понимания взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами.

Все функции обучения математике взаимосвязаны, они зависят друг от друга и реализуются на практике в различных сочетаниях. Обу­чение при реализации функций математики обеспечивает достижение основных целей обучения. Перечисленные выше цели математическо­го образования составляют основу отбора его содержания.

Гуманизация и гуманитаризация математического образования. Дифференциация в обучении математике.

Слово гуманизм произошло от латинского humanus — человечный. Гуманизация образования предполагает «очеловечивание» знания, то есть такую организацию учебного процесса, при котором знания имеют для ученика личностный смысл. Проявлением гуманизации образования является дифференциация и индивидуализация обучения.

Гуманизация школьного математического образования предполагает, что для достижения своих целей общество берет на себя обязательство представить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям.

Дифференциация обучения – составная часть и необходимое условие гуманизации и демократизации обучения. Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, которая является общезначимой и обеспечивает возможность адаптации в постоянно меняющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять предпочтительное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени соответствуют его наклонностям.

Дифференциация может проявляться в двух основных видах.

При обучении в одном классе, по одной программе и одному учебнику, школьники могут усваивать материал на разных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. На его основе формируются более высокие уровни. (Уровневая или внутренняя дифференциация).

Второй вид – это дифференциация по содержанию. Она предусматривает обучение разных групп школьников по программам, которые отличаются глубиной изложения материала, объемом сведений и новой номенклатурой включенных вопросов. (Профильная или внешняя дифференциация ).

В условиях дифференциации появилась необходимость новых подходов в осмыслении проблем, целей, содержания, форм, ме­тодов и средств обучения математике в школе, ее места и роли в систе­ме школьных предметов.

Гуманитаризация (от лат. Humanitas — человеческая природа, ду­ховная культура) математического образования проявляется в приоб­щении школьников к духовной культуре, истории развития науки, творческой деятельности, методологии открытия нового. Гуманитаризация образования предполагает вооружение школьников методами научного поиска, среди которых эвристические приемы и методы научного познания. Гуманитаризация образования призвана создать условия, побуждающие ученика к активной творческой деятельности и обеспечивающие его участие в ней.

Гуманитарная составляющая математического образования опреде­ляется отношением к человеку, его общественному бытию и сознанию. Понятие гуманитарной математики связано с гуманитарными нау­ками, а также с материальными и духовными общественными отноше­ниями. С этих позиций наиболее важными являются:

— методологические вопросы математики как метода познания природы и общества;

— философские проблемы математики, показывающие ее роль в обществе;

— связь математики с другими науками;

— связи математики с производством, ее роль в управлении, быту, трудовом воспитании;

— связь математики с духовной культурой, развитие мышления, по­литическое, нравственное и эстетическое воспитание;

— вклад математического образования в формирование научного гуманистического мировоззрения учащихся.

Гуманитаризация математического образования может осуществ­ляться путем внесения в традиционный школьный курс математики разнообразных форм, методов и стилей, свойственных гуманитарным дисциплинам. Таковыми являются, например, освобождение школь­ного математического курса от технически сложных вопросов; усиле­ние прикладной направленности математики; актуализация значимой роли математики в развитии культуры и общества.

Утверждение, что математика — наука гуманитарная, может пока­заться парадоксальным. Однако именно математика лежит в основе всех наук. Она имеет свой язык, свою лексику, грамматику. Математи­ческие идеи и методы постепенно проникают в самые традиционные гуманитарные науки, прививая им строгий стиль мышления.

Математика развивает образное мышление, так как представляет собой источник образов. Образность мышления очень важна для лю­дей с гуманитарными интересами. Умение видеть разнообразные фор­мы в их пространственном и плоскостном изображении, распознавать конфигурации, моделировать объекты, понимать простые геометриче­ские факты и ситуации — все это способствует развитию логического мышления, пространственного воображения, эстетического чувства, ассоциативного мышления, помогает почувствовать целостность изу­чаемых объектов.

Гуманитарное преподавание математики немыслимо без изуче­ния ее истории. Это не только краткие биографические сведения о выдающихся математиках, но и история возникновения и развития математических идей. Уместно вспомнить об известных гуманита­риях, которые любили математику и хорошо ее знали, и о математи­ках, внесших вклад в развитие гуманитарных наук. Элементы исто­рии должны органично входить в курс математики в гуманитарной школе.

Гуманизация и гуманитаризация обучения математике предполага­ют особые отношения между учителем и учеником, в ходе которых происходит вовлечение школьников в содержание учебного процесса; используются диалогические приемы общения между учителем и уча­щимися; реализуются творческие начала каждого школьника. Как известно, основная цель образования заключается в становлении человека-творца, что предполагает формирование знаний и способов деятельности и создание учителем среды, благоприятной для развития способностей ребенка, обеспечивающей самореализацию его личного потенциала и побуждающей к поиску собственных результатов в обучении. Гуманизация имеет целью сформировать у учащегося личностно значимые для него знания и способы деятельности, а гуманитаризация образования – вооружить школьников основами творческой деятельности.

Цели обучения математике

Образование осуществляется в основном через обучение. Основным отношением, характеризующим процесс обучения математике, является: деятельность учителя – содержание математического образования - деятельность ученика. Таким образом, содержание обучения математике включает не только математические знания, способы деятельности, методы познания, эвристики, но и взаимодействие, включая и общение, учителя и ученика по усвоению содержания математического образования.

Цели и содержание математического образования обусловливают цели обучения математике. Следует различать уровень анализа целей обучения, который может осуществляться либо в контексте учебного предмета математики, либо – учебных материалов, либо - реального учебного процесса.

На уровне учебного предмета цели обучения математике будут почти совпадать с целями математического образования. Первая группа целей обучения будет заключаться в обеспечении овладением системой математических знаний и способов деятельности, эвристик, методов, составляющих содержание математического образования. Вторая, третья и четвертая группы целей обучения совпадают с соответствующими целями образования (иногда развивающие и практические цели объединяют в одну группу). Можно все эти цели представить и в более конкретной форме, разложив способы деятельности на составляющие.

Основным документом, в котором фиксируются цели обучения математике, является программа по математике. Различают два уровня описания целей обучения: общая характеристика целей обучения и конкретное их представление. Общая характеристика целей обучения дается в объяснительной записке к программе по математике. Существуют различные способы конкретного представления целей обучения. Образовательные цели, например, формулируются в виде требований к уровню математической подготовки учащихся. В программе по математике для этого обычно выделяется специальный раздел «Требования к математической подготовке учащихся». Другой раздел «Содержание обучения» представляет образовательные цели в виде номенклатуры математических понятий, подлежащих изучению.

Дальнейшей конкретизацией образовательных целей служит учебник. На уровне учебника математики цели обучения соотносятся со спецификой курса и задаются в форме знаний, умений или какой-либо другой форме. Цели обучения формулируются с учетом содержания учебного материала, его возможностей для развития и математического воспитания ученика, а также требований к подготовке учащихся, определяемых стандартом школьного математического образования. В методических пособиях часто формулируются цели обучения для отдельных тем и уроков. Образовательные цели призваны разграничивать основной и второстепенный материал и в соответствии с этим помочь учителю рационально распределить учебное время.

На уровне реального учебного процесса цели обучения формулируются для каждого отдельного урока уже с учетом особенностей учащихся, возможностей дифференциации их обучения.

Известны различные способы постановки целей обучения: через изучаемое содержание, через деятельность учителя, через учебную деятельность школьников, через внутренние процессы интеллектуального, эмоционального, личностного развития ученика.

Развитие личности школьника обеспечивает не только содержание математического образования, но и то, насколько среда, создаваемая учителем на уроке и вне его, благоприятна для развития способностей ребенка.

Занятия № 3, № 4. Тема «Общедидактические методы обучения»

Основное содержание

1. Проблема методов обучения. Классификация методов обучения.

2. Объяснительно-иллюстративный метод.

3. Репродуктивный метод.

4. Проблемное изложение.

5. Частично-поисковый (эвристический) метод.

6. Исследовательский метод.

7. Математические методы познания

Литература

Основная

1. Ананчанка К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.

3. Ксензова Г.Ю. Перспективные школьные технологии. – М.: Педагогическое общество России, 2001.

4. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. по­собие для вузов. 2-е изд., перераб. — Минск, 1982.

5. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.

Задания для самостоятельной работы

1. Раскройте понятие метод обучения. Охарактеризуйте классификацию методов обучения математике. Какие классифи­кации методов обучения вам известны?

2. Дайте краткую характеристику объяснительно- иллюстративного метода.

3. Приведите примеры, показывающие целесообразность использования рассказа при изучении математики. Разработайте фрагмент урока, где основным методом изложения будет рассказ.

4. Предложите тему школьной лекции, разработай ее план.

5. Дайте самостоятельно характеристику беседы по аналогии с рассказом.

6. Приведите примеры заданий для самостоятельной работы школьников с учебными пособиями, журналами, научно-популярной литературой.

7. Приведите примеры целесообразности использования наглядных пособий на уроках математики. На примере одного пособия поясните, при изучении какого материала и как им можно воспользоваться. Продумайте, как использование средств наглядности будет сочетаться со словом учителя, учащихся. Как сообщить учащимся учебную цель (что наблюдать, анализировать, сравни­вать, стремиться обнаружить и т. д.)?

8. Проиллюстрируйте на примерах применение алгоритмических предписаний при формировании у учащихся навыков применения теоретических положений при решении задач.

9. Разработайте проблемное изложение или проблемную беседу при изучении одной из теорем школьного курса математики.

10. Приведите примеры заданий, решение которых может носить исследовательский характер.

Методические рекомендации

Проблема методов обучения. Классификация методов обучения.

Приступая к изучению методов обучения математике, полезно актуализировать знания о методах обучения из курса дидактики. Система методов обучения математике состоит из общих методов обучения, разработанных дидактикой, адаптированных к обучению математике, и из частных (специальных) методов обучения математике, отражающих основные методы познания, используемые математикой.

Из курса дидактики вам знакомо понятие метода. Термин метод происходит от греческого слова «methodos», что означает исследование, путь продвижения к истине, этимологически он связан с тем значением, которое имеет методология или методика исследования, поиска истины.

Под методом обучения в дидактике понимают упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение учебно-воспитательных задач. «Метод обучения – это апробированная и систематически функционирующая структура деятельности учителей и учащихся, сознательно реализуемая с целью осуществления запрограммированных изменений в личности учащихся.»[8, с. 262]

Любой метод обучения предполагает цель, систему действий, сред­ства обучения и намеченный результат. Объектом и субъектам метода обучения является ученик. Обычно преподаватель сочетает различные методы обучения. Ценность метода зависит от того, в какой степени он вызывает и вызывает ли вообще познавательную, эмоциональную и практическую активность самих учащихся, так необходимую в исследовании действительности и воздействии на нее.

Метод обучения — историческая категория. На протяжении всей истории педагогики проблема методов обучения разрешалась с раз­личных точек зрения: через формы деятельности; через логические структуры и функции форм деятельности; через характер познава­тельной деятельности. Сегодня существуют разные подходы к совре­менной теории методов обучения. Проблема понимания метода обучения сложна и она очень упрощается во всех классификациях методов. Классификация методов обучения проводится по различным осно­ваниям.

По компонентам деятельности:

— организационно-действенные — методы организации и осущест­вления учебно-познавательной деятельности;

— стимулирующие — методы стимулирования и мотивации учеб­но-познавательной деятельности;

— контрольно-оценочные — методы контроля и самоконтроля эф­фективности учебно-познавательной деятельности.

По источникам передачи знаний:

— словесные (рассказ, лекция, беседа, инструктаж, дискуссия);

— наглядные (демонстрация, иллюстрация, схема, показ материа­ла, график);

— практические: практические работы (построения, измерения, изготовление наглядных пособий), письменные упражнения, лабораторные работы, практикумы.

По дидактическим целям:

— методы изучения новых знаний;

— методы закрепления знаний;

— методы контроля.

По способам изложения учебного материала:

— монологические — информационно-сообщающие (рассказ, лек­ция, объяснение);

— диалогические (проблемное изложение, беседа, диспут).

По уровням познавательной активности учащихся:

— репродуктивные (основная роль учителя): лекция, рассказ, беседа и др.;

— продуктивные или проблемный метод: исследовательский метод, эвристический метод, метод проблемного изложения;

— самостоятельная работа учащихся (обучающая или контролирующая).

Все указанные классификации рассматриваются в общедидактическом аспекте, предметное содержание математики учитывается здесь в не­достаточной мере. Идеальной классификации, которая бы отражала метод как динамичный процесс формирования человека, основанный на постоянном выборе содержания, способов деятельности учителя и учащегося, а также на таком подборе условий, чтобы воспитанник переживал обучение как процесс, в котором он принимает личное участие, который приносит ему самому удовлетворение и доставляет удовольствие при его реализации, до сих пор не создано.

Выбор методов обучения — дело твор­ческое, однако оно основано на знании теории обучения. Методы обу­чения невозможно разделить, универсализировать или рассматривать изолированно. Кроме того, один и тот же метод обучения может ока­заться эффективным или неэффективным в зависимости от условий его применения. Только комбинируя различные методы, учитель может добиться серьезных успехов в своей работе. А для этого нужно хорошо представлять достоинства и недостатки каждого метода, условия его применимости.

Более подробно рассмотрим классификацию методов обучения «на основе анализа видов содержания образования и способов их усвоения» [4, с.193], которая предложена в «Дидактике средней школы» [4]: объяснительно-иллюстративный метод, репродуктивный метод, проблемное изложение, частично-поисковый (эвристический) метод, исследовательский метод.

Объяснительно-иллюстративный метод

Сущность объяснительно-иллюстративного метода состоит в том, что учитель сообщает готовую информацию разными средствами, а учащиеся воспринимают, осознают и фиксируют в памяти эту информацию.

Сообщение информации учитель осуществляет с помощью устного слова (рассказ, лекция, объяснение), печатного слова (учебник, учебно-методические пособия), наглядных средств (схемы, графики, модели, кинофильмы и т.д.), практического показа способов деятельности (способа решения задачи, доказательства теоремы и т.д.).

Дадим краткую характеристику некоторым из перечисленных методов.

Рассказ – это словесный метод обучения, который:

- предполагает устное повествовательное, целеустремленное изложение учебного материала;

- применяется при изложении учебного материала, носящего ознакомительный характер;

- не прерывается вопросами учащихся;

- позволяет при минимальных затратах времени сообщить максимум сведений;

- предполагает использование таких методических приемов, как изложение информации, активизация внимания, ускорение запоминания, а также логических приемов сравнения, сопоставления, выделения главного, резюмирования;

- характеризуется недостаточной долей самостоятельного познания учащихся, ограниченностью элементов поисковой деятельности;

- затрудняет обратную связь, учитель не получает достаточной информации о качестве усвоения знаний, не может учесть индивидуальные особенности всех учащихся.

Существует несколько видов рассказа: рассказ-вступление, рассказ-изложение, рассказ-заключение. Условия эффективного применения рассказа: тщательная продуманность плана, выбор наиболее рациональной последовательности раскрытия темы, удачный подбор примеров и иллюстраций, поддержание должного эмоционального тона изложения. Продолжительность рассказа при хорошем понимании учащихся 8-9 классов не более 15-20 минут.

Лекция - метод словесного изложения и объяснения готовых знаний, который характеризуется связанностью, полнотой, систематичностью и логической последовательностью ее построения и относительной законченностью излагаемого вопроса или целой темы. Активное участие в лекции требует от учащихся значительных усилий, сосредоточенного внимания и развитого мышления. Как метод обучения школьная лекция используется обычно в старших классах средних учебных заведений. Восприятие конспектируемой лекции значительно эффективнее, чем не конспектируемой. Поскольку конспектирование на начальном этапе дается учащимся с большим трудом, учителю нужно этому уделять внимание (давать план лекции, вначале читать более медленно, выделять наиболее важные моменты и т.д.). Школьные лекции по математике могут использоваться при систематизации и обобщении различных тем, при подготовке к экзаменам, например, по теме «Нахождение углов и расстояний в пространстве».

Объяснение – словесный метод, который часто осуществляется в виде беседы. Беседа – разговор учителя с учащимися. С точки зрения дидактической роли, которую может играть метод беседы, различают три вида его применения: вступительная беседа; беседа, представляющая новую информацию; закрепляющая беседа.

Вступительная беседа должна подготовить учащихся к работе. С одной стороны, ее цель заключается в актуализации знаний, необходимых для понимания нового материала. С другой стороны, целью беседы является организация класса для новой работы, определение темы и целей урока, постановка задач для всего класса или групп учащихся при групповой работе, обсуждение метода работы и способа ее выполнения.

Беседа, дающая новую информацию, носит характер разговора учителя с учащимися, в котором речь идет о такой их активности, чтобы новое содержание, передаваемое им учителем или их одноклассниками, было всем понятно, связывалось с ранее изученным, усваивалось для дальнейшего применения.

Закрепляющая беседа основана на работе с материалом, усвоенном ранее, но требующим противопоставления и интеграции в рамках больших тем, разделов, курсов. Мышление основано здесь на переходе к более широкому обобщению через сопоставление между собой многих фактов и обобщений, на формирование структур, включающих большие разделы, в которых имеется место как для ранее приобретенных знаний, так и для только что полученных с помощью новой информации.

Эффективность беседы зависит от умелого подбора вопросов, которые направляют беседу (вопросов не должно быть много, они не должны быть слишком просты, между вопросами следует выдерживать паузы достаточной длины). Полезно учебный материал разбивать на смысловые части.

Беседа позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, повысить их интерес, способствует хорошему усвоению материала, развитию мышления и способностей учащихся. С другой стороны, она требует большей, чем при рассказе, затраты времени. При беседе сильно сказываются индивидуальные различия учащихся, многие из них не успевают отвечать на вопросы учителя. Активное участие в беседе часто принимают лишь отдельные ученики, другие – пассивны.

Источником знаний учащихся может не только живое слово учителя, но и печатное слово. Учебники, пособия, научно-популярная литература и журналы являются не только источниками новой информации, но и дают учащимся возможность закрепления, расширения и углубления приобретенных на уроках знаний. Работа с книгой вовлекает учащихся в овладение методами самообразования, которые должны способствовать развитию дарованной от природы каждому ребёнку склонности к познанию, исследованию окружающего мира.

Наглядные методы обучения иногда подразделяют на метод иллюстраций и метод демонстраций. Метод иллюстраций пред­полагает показ учащимся различных иллюстративных по­собий: плакатов, таблиц, схем, рисунков из учебника, зарисовок и записей на доске, моделей геометрических фигур, натуральных предметов и т. д. Метод демонстра­ций обычно связан с демонстрацией приборов, опытов, показом кинофильмов, диафильмов, слайдов, использованием учебного телевидения, магнитофон­ных записей и т. д.

Существует несколько методических условий успешного применения наглядных средств обу­чения: 1) хорошее обозрение наглядного пособия; 2) по­становка учебной цели, четкое выделение главного при демонстрации пособия; 3) умелое сочетание слова и показа средства наглядности; осуществление ориентации дейст­вий учащихся на достижение учебной цели с помощью средства наглядности; 4) привлечение учащихся к на­хождению желаемой информации (с помощью наглядного пособия), постановка перед ними проблемных заданий.

Практический показ способов деятельности при обучении математике применяется, когда учитель демонстрирует способ решения задачи, доказательства теоремы, образец выполнения какого-либо задания, например, деления многочлена на многочлен, и т.д.

Иногда подразделяют методы обучения на «новые» и «старые», традиционные. При этом проводится мысль, что традиционные методы якобы изжили себя, а «новые» методы активно рекламируются. Под «старыми» понимаются объяснительно-иллюстративные методы. Традиционные методы обучения разрабатывались в свое время наиболее опытными педагогами, формировались в результате длительной практики обучения. Учитывая все большее сокращение времени на обучение математике в школе, необходимо максимально использовать этот бесценный опыт. Опираясь на психологические закономерности и используя ряд приемов обучения, можно добиться того, чтобы при использовании объяснительно-иллюстративных методов максимально активизировалась мыслительная деятельность учащихся.

Репродуктивный метод

Для приобретения учащимися навыков и умений на основании знаний, полученных в результате объяснительно-иллюстративного метода, и для достижения более высокого уровня знаний используется репродуктивный метод. Учитель системой заданий организует деятельность школьников по неоднократному воспроизведению сообщенных им знаний и показанных способов деятельности. Учитель предлагает задания, а учащиеся выполняют их, используя знания в знакомой ситуации по образцу. Примером может служить выполнение учащимися простейших упражнений на применение полученной формулы. При их выполнении деятельность учащихся носит форму возобновления изученного. Таким образом, главным признаком репродуктивного метода являются воспроизведение и повторение учениками способа деятельности по заданиям учителя.

Существенную роль при осуществлении репродуктивного метода в обучении математике играет алгоритмизация. Под алгоритмом понимается точное обще­понятное предписание о выполнении в определенной последова­тельности операций для решения любой из задач, Применение алгоритмов в обучении представляет одну из форм предъявления учащимся ориентиров для осуществления четко обозначенной деятельности, например, алгоритм решения квадратного уравнения. Использование учащимися известного им алгоритма по заданию учителя характеризует прием репродуктивного метода.

Повышению эффективности репродуктивного метода служит использование программированных материалов, которые обеспечивают обратную связь и самоконтроль.

Программированное обучение — это такое обучение, когда решение задачи представлено в виде строгой последовательности элементарных операций, в обучающих программах изучаемый материал подается в форме строгой последовательности кадров, каждый из которых содер­жит, как правило, дозу нового материала и контрольный вопрос или задание.

Программированное обучение предусматривает:

— правильный отбор и разбивку учебного материала на небольшие дозы;

— частый контроль знаний;

— переход к следующей дозе учебного материала лишь после озна­комления учащегося с правильным ответом или характером допущен­ной им ошибки;

— обеспечение возможности каждому ученику работать со свойст­венной ему, индивидуальной скоростью усвоения, что является необ­ходимым условием активной самостоятельной деятельности ученика по усвоению учебного материала.

В эпоху компьютеризации программированное обучение осуществ­ляется с помощью обучающих программ, которые определяют не только содержание, но и процесс обучения. Существуют две различные системы программирования учебного материала — линейная и раз­ветвленная программы с элементами циклической, отличающиеся друг от друга некоторыми важными исходными предпосылками и структурой. Сравнивая две системы программирования учебного мате­риала, можно отметить, что при линейном программировании ученик самостоятельно формулирует ответы на контрольные вопросы, при разветвленном он лишь выбирает один из нескольких готовых ответов. В этом преимущество линейной программы.

Программированное обучение перспективно в осуществлении принципа индивидуального подхода, своевременной обратной связи. Оно может осуществляться с применением обучающих ма­шин или в виде безмашинного обучения, использующего программи­рованные учебники. Практика показала, что программированное обу­чение полезно и может применяться в широкой практике школьного обучения.

В качестве преимуществ программированного обучения можно отметить: дозированность учебного материала, который усваивает­ся безошибочно, что ведет к высоким результатам обучения; инди­видуальное усвоение; постоянный контроль усвоения; возможность использования технических автоматизированных устройств обуче­ния.

Существенные недостатки применения этого метода: не всякий учебный материал поддается программированной обработке; метод ограничивает умственное развитие учащихся репродуктивными опе­рациями; при его использовании наблюдается дефицит общения учи­теля с учащимися; отсутствует эмоционально-чувственная компонен­та обучения.

Таким образом, репродуктивный метод может приобретать разные формы и осуществляться различными средствами. Во всех случаях речь идет об упражнениях, то есть неоднократном повторении сходных действий. При выполнении ряда заданий присутствуют элементы творчество, но в целом деятельность учащихся является репродуктивной.

Проблемное изложение

Если учитель не излагает готовые научные истины (формулировки теорем, их доказательства и т.п.), а в какой-то мере воспроизводит путь открытия этих знаний, то такой метод называют проблемным изложением. При проблемном изложении материала учитель демонстриру­ет учащимся процесс движения индивидуального сознания в ре­шении проблемы, рассуждая вслух. При этом знания предъявляются не в законченном виде, а учитель ищет ответы на возникающие и подчеркиваемые вопро­сы на глазах у обучаемых, показывая образцы мыслительного поиска, раскрывая противоречия процесса мышления. По существу учитель раскрывает перед учащимися путь исследования, поиска и открытия новых знаний, готовя их тем самым к самостоятельному поиску в дальнейшем.

Принципы организации проблемного изложения и проблемной беседы (эвристический метод) одни и те же. Но при проблемном изложении основную проблему и подпроблемы ставит и решает учитель, а в проблем­ной беседе к выявлению основной проблемы и подпроблем и к их решению привлекаются учащиеся.

При орга­низации проблемного изложения и проблемной беседы полезно объяснение нового материала начинается с инте­ресной практической или исторической задачи, позволяющей со­здать исходную проблемную ситуацию, мотивирующую изучение нового. Использование таких задач стимулирует проявление по­знавательного интереса. Исходная проблемная ситуация вызы­вает необходимость построения математической модели реаль­ной ситуации. В результате разрешения исходной проблемной ситуации намечается цель действия.

Основная проблема, выдвинутая в ходе анализа исходной проблемной ситуации, разбивается на ряд подпроблем, каждая из которых порождает свою проблемную ситуацию. Про­блемное изложение, проблемная беседа могут содержать от двух и более проблемных ситуаций. Эти ситуации связаны с поиском решения основной проблемы, способа достижения выдвинутой цели, возможного применения полученного знания, распростра­нением полученной закономерности на частные случаи.

Реальный процесс выхода из проблемной ситуации, разрешение проблемы возможно, как правило, в нескольких на­правлениях, опираясь на различную теоретическую базу. Поэто­му и в процессе разрешения проблемной ситуации на уроке долж­но иметь место несколько способов решения. Возможно, в целях экономии времени не каждой путь будет доведен до логического конца, но возможность различных путей должна быть обозначе­на, доведена до сознания обучаемых. При подготовке к уроку необходимо предусмотреть различные пути решения каждой подпроблемы.

Разрешение проблемных ситуаций имитирует реальный процесс мышления - открытие нового знания. А реаль­ный процесс мышления, решение проблем - не накатанная доро­га. В нем имеют место тупиковые ситуации, когда очередная ги­потеза приводит либо к очевидному противоречию, либо к невоз­можности продолжать решение в данном направлении ввиду от­сутствия необходимой базы. Такие ситуации должны иметь место и в процессе обучения. Они возникают естественным образом, когда учащимися предлагается неверный или неподходящий путь решения. Неверные шаги могут быть инициированы учителем. Ложные предположения не отвергаются, а подвергаются анали­зу. Если учащиеся попали в тупиковую ситуацию, необходим по­иск ошибки. Тупиковые ситуации заставляют учащихся вернуть­ся на исходные позиции и продолжить поиск, выдвигая новые ги­потезы.

В процессе обучения возможны два пути предъявле­ния материала, две схемы - историческая и логическая. Логичес­кая - более краткая, отражающая результат исследования, исто­рическая - более естественная, отражающая реальный процесс решения проблемы человечеством. Вся история развития научно­го знания внутренне проблематична. Привлечение историческо­го материала для поисков решения проблемы при организации проблемного изложения, проблемной беседы обогащает ученика знакомством с реальными путями выхода человеческой мысли из проблемной ситуации и способствует повышению познаватель­ного интереса. Использование исторического материала на уро­ке позволяет усилить его проблемность.

Частично-поисковый (эвристический) метод

Частично-поисковый (эвристический) метод сочетает изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся.

В целях постепенного приближения учащихся к самостоятельному решению проблем необходимо их учить выполнению отдельных этапов исследования. Частично-поисковый или эвристический метод заключается в том, что ученики не решают проблемную задачу целиком, учитель планирует шаги поиска, расчленяет проблемную задачу на подзадачи, а учащиеся осуществляют эти шаги под руководством учителя.

С этой целью материал темы существенно переструктурируется учителем таким образом, что предполагается не гладкое последовательное предъявление материала от просто­го к сложному, с предупреждением возможных трудностей, а преодоление трудностей, как это бывает в реальной жизни. Уча­щиеся становятся очевидцами возникновения проблем, участни­ками их постановки и разрешения, соавторами создающихся не­больших теорий, исследователями полученных закономерностей. Структура темы, предъявляемой учебниками, становится более понятной ученикам. Само изучение темы, как и положено, при проблемном подходе, проходит в форме решения интересных прак­тических и познавательных задач. А использованный историчес­кий материал приобретает живую окраску.

Основной форма частично-поискового метода является эвристическая беседа, центральное место в которой занимают проблемные вопросы, ответы на которые должны найти ученики. Существенное увеличение времени на подготовку урока оправдано возрастанием интереса учащихся к предмету.

Таким образом, в основе метода проблемного изложения и частично-поискового (эвристического) метода лежат общие принципы, оба они относятся к проблемно-поисковым методам, но отличаются степенью самостоятельности учащихся в разрешении учебных проблем.

Исследовательский метод

Исследовательский метод высший уровень проблемного под­хода. Проблемное изложение и проблемная беседа являются под­готовкой учащихся к нему. Исследовательский метод в обучении заключается в самостоятельном решении обучаемыми проблем, трудных задач познавательного и практического характера. При исследовательской деятельности учащиеся отыскивают не толь­ко способы решения поставленных проблем, но и побуждаются к самостоятельной их постановке, к выдвижению целей своей дея­тельности.

Исследовательский метод является имитацией творческого поиска исследователя. Учащиеся открывают новое, но это субъективно новое, известное науке, но неизвестное ученику. При этом ученик проходит те же этапы творческого процесса, что и насто­ящий исследователь: анализирует ситуации, выдвигает гипотезы относительно целей и методов исследования, проверяет их, отка­зывается от них, если они приводят в тупик, к противоречию, со­ставляет план исследования, формулирует результат, проверяет пригодность результата для различных крайних, частных случа­ев, пытается перенести полученный результат на новые ситуации - установить следствия полученной закономерности.

В организации исследовательской деятельности учащихся име­ют место определенные трудности. Как и всякий другой метод обучения, исследовательский метод не является универсальным методом обучения. В младших и средних классах школы в деятельности учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой и сложной форме.

Какие формы работы, какие задания помогут организовать исследовательскую деятельность? На начальном этапе это может быть самостоятельное состав­ление учеником задач, упражнений, аналогичных решенным, об­ратных решенным. На более поздних этапах такими формами могут быть: самосто­ятельное составление задач на заданную тему, на определенный метод решения; решение задач с неполным условием, когда появ­ляется возможность получения последовательности задач; это получение задач из практических ситуаций с последующим их решением; самостоятельный поиск закономерностей и их доказа­тельств; это распространение полученной закономерности на ча­стные и предельные случаи; это исследование, в каких случаях решение возможно, а в каких - нет; это определение количества возможных решений.

Отличительной чертой исследовательского метода является не просто поиск пути достижения определенной цели в определенных условиях, но поиск самой цели, поиск усло­вий, их взаимосвязей, уточнение того и другого. Исследователь­ская деятельность имеет место при самостоятельном решении любой нестандартной задачи, условие которой не ориентируется на способ решения, а в имеющемся опыте нет готовых схем реше­ния для нее.

Построение процесса обучения подобно исследованию требует чрезмерно большого времени, хотя этот недостаток исследовательского метода окупается эффективностью развития творческого мышления учащихся. Однако в условиях дефицита времени, естественно ограничиться применением исследовательского метода к отдельным темам, наиболее подходящим для этой цели. При изучении других вопросов даже репродуктивными методами умелая организация учителя поможет школьникам рассматривать изученный материал как результат некоторых исследований, проведенных другими.

7. Математические методы познания

Математические методы познания отражают методы самой математики и имеют наибольшее влияние на формирование и развитие математического мышления учащихся (то есть мышления, стиль, структура которого специфичны для математики).

Одним из наиболее плодотворных методов математического позна­ния действительности является метод построения математических мо­делей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математи­ческого аппарата.

Математическая модель — это приближенное описание какого-ли­бо класса явлений, выраженное на языке математической теории (с по­мощью алгебраических функций или их систем, дифференциальных или интегральных уравнений или неравенств, системы геометрических предложений или других математических объектов).

Математическое моделирование — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования.

Метод математического моделирования состоит из этапов:

1. Поиск языка и средств для перевода задачи в математическую, то есть построение математической модели;

2. Изучение математической модели, ее исследование. Если полученная конкретная модель принадлежит уже изученному в математике классу моделей , то математическая задача решается уже известными методами. Если же полученная модель не укладывается ни в один из известных классов моделей, то возникает внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

3. Это развитие математической теории находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим моделям того же класса.

Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитировать процесс исследования в самой математике, раскрывать ее связи с реальным миром, с другими областями знаний, в которых она находит все новые приложения.

Обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих моделей. Затем объектом изучения должны стать уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширение теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена (с участием самих учащихся), ее аппарат применяется к решению исходной задачи. А также других задач, связанных с другими областями знаний, но приводящих к моделям этого же класса.

К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). В процессе математического моделирования широко используются абстракции отождествления, осуществимости, идеализация. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.

Методом математического моделирования решаются многие задачи межпредметного характера. С помощью метода математического моделирования раскрывает­ся двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окру­жающего нас реального мира, с другой - сама жизнь, практика спо­собствует дальнейшему развитию математики и направляет это раз­витие.

Аксиоматический метод также относится к числу наиболее характерных методов математики. Аксиоматический метод можно рассматривать как метод построения теорий, как науч­ный метод познания, как метод обучения математике.

Метод установления ис­тинности предложений, получивший название «аксиоматический метод», заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиома­ми), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), устанавливается с помощью ло­гического доказательства, в котором (обычно неявно) использу­ются правила логического следования (вывода), гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное исполь­зование этих правил вывода (дедукции) превращает таким обра­зом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксио­матическую) систему.

В математике аксиоматический метод – широко применяемый метод построения мате­матических теорий.

Аксиоматический метод, как метод построения мате­матических теорий, может быть использован в качестве ме­тода обучения, если в процессе обучения привлекать самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучае­мую теорию, в которую они включаются.

Аксиоматический метод как метод обучения служит для сис­тематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложений специфи­ческим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся.

Занятие № 5. Тема «Методика изучения математических понятий».

Литература

1. Ананчанка, К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе /К.А.Ананчанка. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997.

2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.

3. Метельский , Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. по­собие для вузов. 2-е изд., перераб. / Н. В. Метельский. — Минск, 1982.

4. Саранцев, Г.И. Формирование математических понятий в средней школе /Г.И.Саранцев //Математика в школе. – 1998. -№6.

Задания для самостоятельной работы

1. Охарактеризуйте главные логические характеристики понятия, содержания понятия, объема по­нятия. Приведите пример понятия и выделите его содержание и объем. Проиллюстрируйте на примерах зависимость между содержа­нием и объемом понятия.

2. Укажите, что называется определением понятия. Как решает­ся вопрос о существовании понятий? Приведите примеры определений: через род и видовое отличие, генетического, индуктивного, аксиоматического. Приведите примеры определений, видовые отличия которых связаны конъюнктивно, дизъюнктивно.

3. Охарактеризуйте виды классификации понятий и требования, предъявляемые к правильной классификации. Приведите примеры дихотомической классификации и классификации по видоизмененном признаку.

4. Укажите, из каких этапов состоит организация усвоения по­нятия и его определения. Сравните два метода введения определений понятий: конк­ретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный.

5. Приведите примеры различных логических ошибок в опреде­лениях. Продумайте методику исправления ошибок с учащимися.

6. Охарактеризуйте уровни усвоения учащимися понятий. Приведите примеры.

Методические рекомендации

Всякое явление, любой процесс представляет собой единство со­держания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочета­ний называют формами мышления. Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия — одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Формирование математических понятий

Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, то есть "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.

Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.

Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.

Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.

Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).

Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, то есть отделения общих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий.

Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.

Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором.

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.

Пропедевтика понятий

Пропедевтика (гр. propaideuo- обучаю предварительно) – введение в какую-либо науку. Следовательно, речь идет о предварительной подготовке учащихся к формированию математических понятий.

Математические понятия – важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. Каждая математическая наука и учебная дисциплина начинается с первичных, основных неопределяемых понятий. Все другие определяются и называются определяемыми, выводными или производными. Это можно сделать в систематических курсах математических дисциплин, т.е. на определенном уровне развития учащихся.

На начальной ступени обучения учащиеся знакомятся с большинством математических понятий наглядно, путем созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, например, при счете их. При этом учитель опирается на жизненный опыт учащихся.

Способы введения мат. понятий на начальном этапе изучения математики:

1) первое знакомство с математическими понятиями в начальных классах школы фиксируется с помощью термина и символа, без описания или определения понятия. Например, фигуры треугольник, квадрат, прямоугольник - еще в детском саду. Термин «меньше» и символ 2< 9; термин «сложение» и символ «+» и т.д.;

2) появляются первые определения (2 кл.) – «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением»;

3) некоторые понятия вводятся только с помощью термина (например, год, неделя, час, минута и др.);

4) описательное введение понятий (нумерация в пределах тысячи, меры длины);

5) некоторые понятия определяются генетически (окружность, 1 м - это квадрат со стороной 1 м).

Велика роль пропедевтики алгебраического и геометрического материала, особенно в 5-6 классах, где наряду с систематическим курсом арифметики изучаются начала алгебры и геометрии. Например, в учебнике Латотина Л.А., Чеботаревского Б.Д. «Математика 4»: геометрические понятия – окружность, круг, угол, смежные и вертикальные углы, прямоугольный параллелепипед, объем; алгебраические понятия - уравнение, выражение и его значение.

Таким образом, в курсе математики ведется подготовка к изучению курсов алгебры и геометрии. Но не только на уроках математики, возможна пропедевтика и в других курсах, например, физики – понятие производной (мгновенная скорость), черчения – изображение пространственных фигур в стереометрии и др.

В отдельных случаях, когда изучение понятия представляет собой существенные трудности, период первоначального озна­комления с понятием растягивается во времени, на протяжении которого учащиеся многократно сталкиваются с понятием, по­степенно расширяя круг представлений о нем. Например, одно из важнейших понятий современного школьного курса матема­тики - функция. Усвоение этого понятия возможно лишь при ус­ловии перехода от статического к диалектическому мышлению, что совершается не вдруг. Само понятие функция вводится в седь­мом классе. Но в пятом и шестом классах сознание учащихся го­товится к восприятию этого понятия. В качестве пропедевтики понятия функция в учебниках пятого и шестого классов рассмат­риваются различные упражнения. Функция как зависимость, за­кон соответствия, соответствие между отдельными элементами некоторых множеств проявляют себя в таких упражнениях, как составление выражений, отыскание значений выражения в зави­симости от значений параметров, входящих в него. Функциональной пропедевтикой явля­ется изучение темы «Координатная плоскость».

Методика введения математических понятий

Организация введения понятий может быть реализована в рам­ках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративно­го, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового опре­деления. Эти методы получили названия соответственно абстракт­но-дедуктивного и конкретно-индуктивного.

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

- анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение);

- выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют;

- формулируется определение;

- определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода :

- формулируется определение понятия;

- приводятся примеры и контрпримеры;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника.

При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий.

Введению определения на уроке предшествует работа учите­ля по выделению существенных и несущественных свойств понятия, определение которого подлежит изучению, анализу логичес­кой структуры этого определения, подбору примеров и контрпри­меров для закрепления и возможностей их вариации, анализу си­туаций, в которых наиболее часто встречается вводимое поня­тие. Анализ заканчивается выбором метода введения определе­ния.

Рассмотрим пример подготовки учителя к уроку по теме «Смежные углы». Определение смежных углов име­ет два существенных свойства: наличие у обоих углов общей сто­роны и то, что вторые стороны этих углов являются дополнитель­ными полупрямыми. Эти свойства связаны между собой конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место каждое свойство. Это значит, что контрпримеров этому понятию можно привести три: когда отсутствует первое или второе или оба свой­ства сразу. Какими несущественными свойствами обладает это понятие, то есть какие свойства допускают вариации? Это соотно­шения между величинами углов, произвольность расположения на плоскости. В методике Н.Н. Кабановой-Меллер предлагает­ся вместе с учащимися выделять и проговаривать не только суще­ственные свойства, но и несущественные. Такая работа позволя­ет учащимся легче узнавать объекты в наиболее часто встречаю­щихся задачных ситуациях, в которых участвуют смежные углы. Такими ситуациями для смежных углов являются ситуации, ког­да две прямые пересечены третьей прямой, в треугольниках, в разных видах четырехугольников.

Поскольку вводимое понятие смежных углов не очень слож­ное, то учитель может предпочесть частично-поисковый метод введения понятия. При этом цель урока может быть сформулиро­вана по-разному: получить определение смежных углов с помо­щью учащихся, научить учащихся его формулировать, узнавать смежные углы в различных ситуациях, подводить под определе­ние понятия смежных углов, исправлять ошибочные определения.

Рассмотрим фрагмент урока по введению понятия смежные углы. Классу представлены следующие рисунки:

а) б) в) г) д)

Далее процесс восприятия и осознания направляется вопроса­ми учителя к предложенным рисункам:

- назовите рисунки, на которых изображены два угла, имеющие одну общую сторону;

- назовите рисунки, на которых сторона одного угла является дополнительной полупрямой для стороны другого угла;

- на каких рисунках изображены углы, которые одновременно удовлетворяют двум предъявленным требованиям?

В беседе роль учащихся может быть усилена, а вопросы можно поставить так, что уровень самостоятельности учащихся повы­сится:

- что общего на рисунках а), б) и г)?

- что общего на рисунках б), в) и г)?

- назовите рисунки, изображения на которых удовлетворяют двум выделенным требованиям.

Далее учитель сообщает термин «смежные углы» и просит уче­ников сформулировать соответствующее определение. Для зак­репления выделенных существенных свойств учитель дает зада­ние обосновать, почему углы на рисунках а), в) и д) не являются смежными. Далее рассматривается, чем различаются смежные углы на рисунках б) и г) и чем вообще могут отличаться друг от друга пары смежных углов.

Психологи (В.И. Зыкова, М.А. Холодная) считают, что при изучении всякого понятия должно быть установлено соответствие нового знания личному интеллектуальному опыту учащихся, в ко­тором могут содержаться противоречия с новыми знаниями. С от­ношением «быть смежными» учащиеся сталкивались в быту: смеж­ные - соседние участки земли, помещения. Необходимо подчерк­нуть сходство и различие вновь вводимого понятия с имеющимися.

Интересным для учащихся может оказаться перевод на рус­ский язык различных математических терминов: радиус - спица колеса, хорда - струна, диаметр - поперечник (с греч.) и т. д., что раскрывает первоначальный смысл понятий, их происхожде­ние и связь математики с окружающей действительностью.

Применению всякого понятия на практике при решении задач предшествует узнавание его в некоторой конкретной ситуации, где оно может быть представлено в более или менее скрытой фор­ме. За этим при решении задач следуют обоснование узнавания (подведение под понятие) и выведение следствий (использование понятия).

В методике преподавания математики принято в каче­стве первых упражнений на закрепление вновь вводимых поня­тий предлагать упражнения на узнавание объектов с дальнейшим подведением под определение. Например, такими упражнениями на узнавание смежных углов могут быть задания выделить смеж­ные углы на рисунке и обосновать свои утверждения.

Это же понятие смежных углов может быть введено по-другому.

Например, учитель просит учащихся построить в тетради и на доске любой угол, а затем продолжить одну из его сторон - по­строить дополнительную полупрямую. Далее с помощью учащихся выясняется, какими существенными свойствами обладают два полученных угла, рассматриваются различные чертежи из тетра­дей учеников в качестве вариаций несущественных свойств, за­тем рассматриваются контрпримеры.

Дальнейшее усвоение понятия «смежные углы» проходит на этапе применения понятия.

Применение понятий и их определений

Знание определения еще не гарантирует усвоения понятия. Один из аспектов формализма в математических знаниях состоит именно в том, что некоторые учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается. Поэтому методика обучения должна разрабатывать систему работы с определениями, чтобы преодолеть возможный формализм в их усвоении.

В практике решения задач при оперировании понятиями и их определениями актуальными являются умения: 1) подведение под определение; 2) подведение под понятие; 3) выделение «зоны по­иска»; 4) выведение следствий из определения.

Названные умения можно формировать в рамках приемов ум­ственной деятельности - совокупности мыслительных операций, направленных на решение задач определенного типа.

Структура приема подведения под опре­деление зависит от логического строения определения, то есть от того, каким образом, конъюнктивно или дизъюнктивно, связаны существенные свойства в определении.

Рассмотрим несколько определений.

1. Целым выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычита­ния, умножения и деления на число, отличное от нуля.

2. Целые и дробные выражения называются рациональными.

3. Треугольником называется фигура, состоящая из трех то­чек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

4. Трапецией называется четырехугольник, две стороны кото­рого параллельны, а две другие - нет.

5. Арифметическим квадратным корнем из числа а , называет­ся неотрицательное число, квадрат которого равен а .

6. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Чем различаются действия подведения под определение в слу­чаях 1, 2 и 6 от аналогичных действий в случаях 3, 4, 5?

При подведении под определение, в котором существенные свойства связаны конъюнктивно (примеры 3,4,5), для отнесения некоторого объекта к множеству объектов, названных опреде­ленным термином, необходимо проверить наличие всех существенных свойств. Например, чтобы некоторое число b было арифме­тическим квадратным корнем из числа а , требуется выполнение двух условий: .

Если существенные свойства связаны между собой дизъюнк­тивно, то для отнесения объекта к множеству объектов, подпада­ющих под это понятие, достаточно выполнения отдельных суще­ственных свойств. Например, чтобы некоторое выражение мож­но было назвать рациональным, достаточно, чтобы оно было це­лым или дробным. Причем союз «или», который подразумевается в дизъюнктивно построенных определениях, обладает неразде­лительным смыслом. Например, чтобы выражение назвать целым, требуется, чтобы оно было построено с помощью любых действий, перечисленных в определении 1.

Рассмотрим, как могут выглядеть рассуждения при подведе­нии под определение, например, вписанного угла.

Вначале необходимо вспомнить определение: вписанным уг­лом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Затем выделяются существен­ные свойства определения: 1) угол; 2) вершина лежит на окруж­ности; 3) стороны пересекают окружность. Выясняется, что необ­ходимо проверить наличие каждого свойства согласно структу­ре данного определения. Затем на каждом из рисунков

проверяется наличие перечисленных свойств и формулируются соответствующие выводы.

Иногда применение приема подведения объекта под определе­ние затруднено в силу того, что определение дано в форме, кото­рой трудно воспользоваться и которая требует предварительного анализа и переформулирования. Рассмотрим, например, опреде­ление квадратного уравнения с одной переменной. Квадратным называется уравнение вида:

ах² + bх + с = 0, где а 0 . Чтобы ответить на вопрос, являются ли, например, равенства (*) квад­ратными уравнениями с одной переменной, следует самостоятель­но выделить существенные свойства понятия, а именно: что это уравнение, что оно содержит одну переменную, что оно содержит в качестве одного из слагаемых вторую степень переменной со своим коэффициентом и не содержит степени переменной выше второй.

у-2х² =0; Зх² +5; 2х³ +х² -5 = 0; 7х² -6 = 0 (*)

Следовательно, чтобы подвести некоторый объект под поня­тие согласно его определению, учащиеся должны вспомнить оп­ределение, выявить его существенные свойства, установить свя­зи между ними, например, с помощью вопроса, все ли существен­ные свойства должны выполняться, затем проделать операции, адекватные логическому строению определения, - проверить на­личие требуемых свойств в рассматриваемом объекте и сделать вывод относительно принадлежности рассматриваемого объекта к понятию: если существенные свойства связаны конъюнктивно, то для отнесения объекта к понятию необходимо выполнение всех свойств, а если дизъюнктивно - то некоторых.

Опыт показывает, что выполнение нескольких упражнений на подведение под определение способствует не только осознанию определения, но и его непроизвольному запоминанию.

Несколько сложнее выглядит прием подведения под понятие . Как известно, что­бы отнести некоторый объект под какое-либо понятие, необяза­тельно пользоваться определением. Можно подводить под при­знаки понятия. Чем воспользоваться: определением или призна­ком, которым признаком из имеющихся - все это диктуется усло­виями конкретной задачи.

Рассмотрим, например, задачу «В параллелограмме ABCD точка Е- середина сто­роны ВС, a F - середина стороны AD. Докажите, что четырех­угольник BEDF- параллелограмм». Доказательство требуемого факта может быть основано на определении параллелограмма. Тогда предстоит доказывать па­раллельность BF и ED. Но доказательство можно построить на одном из признаков параллелограмма. И тогда предстоит дока­зывать, что либо диагонали BD и FE точкой пересечения делятся пополам, либо стороны BE и FD равны и параллельны, либо про­тиволежащие стороны этого четырехугольника попарно равны.

Все операции: актуализация определения и признаков, выбор из них необходимого средства, подведение под определение или выбранный признак и составляет из себя прием подведения под понятие.

Тесно связан с названными еще один прием - выделение «зоны поиска» некоторого понятия. «Зона поиска» это и есть совокуп­ность определения и различных признаков. Этот прием можно эффективно использовать в начале систематического курса гео­метрии, доказывая равенство отрезков и углов. Например, учащи­еся в ходе изучения курса начинают систематизировать достаточ­ные условия равенства отрезков. По мере изучения геометричес­кого материала этот список дополняется. Список полезно вести всем учащимся, например, на последней странице тетради. Приве­дем в качестве примера «зону поиска» равных отрезков. Итак, равные отрезки можно искать в следующих ситуациях: 1) два от­резка имеют равную длину; 2) два отрезка являются соответству­ющими сторонами равных треугольников; 3) два отрезка являют­ся боковыми сторонами равнобедренного треугольника; 4) два отрезка являются противоположными сторонами параллелограм­ма, любыми сторонами ромба; 5) один отрезок получен из другого некоторым движением; 6) отрезки являются половинами или равными частями равных отрезков и т. д.

Последний из рассматриваемых приемов - прием получения следствий - заключается в том, что при решении задачи перечис­ляются следствия из наличия какого-либо понятия, то есть выделя­ются все свойства этого понятия, содержащиеся в определении и полученные с помощью доказательств. Этот прием облегчает орга­низацию обучения решению задач в начальном курсе геометрии, когда для учащихся характерна жалоба: «Я не умею начинать решать задачу». Он составляет основной смысл решения задачи синтетическим методом, движения мысли от условия к заключе­нию.

Рассмотрим пример. Доказать, что в равных треугольниках соответственные медианы равны. Прием получения след­ствий в применении к данной задаче заключается в том, что пере­бираются все данные условия и из каждого из них делаются воз­можные выводы.

При этом приходится отвечать на вопросы: 1) что значит, что треугольники равны; 2) что значит, что BD и - медианы?

Рассмотрением перечисленных приемов мы переходим от понятий и их определений к процессу реше­ния задач, в ходе которого форми­руется понятие.

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

установление связей между отдельными понятиями, теоремами;

разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

обобщением понятия; конкретизацией понятия.

Некоторые особенности усвоения математических понятий и их определений учащимся

В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ введения нового понятия, когда начинают с рассматривания конкретных примеров и путем мыслительных операций (анализа, сравнения, абстрагирования, обобщения, синтеза) приводят учащихся к образованию новых понятий. При умелом, продуманном проведении этого процесса учащееся почти всегда способны сами сформулировать определение нового понятия.

Конкретно-индуктивным методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причем многие определяемые понятия там были введены без определений, описательно.

Приступая к изучению систематических курсов в 7 классе, пользуются всеми этими понятиями как известными. Так уже на первых уроках геометрии в 7 классе употребляются понятия “точка”, «прямая”, “ плоскость”, “ расстояние” и выясняется, что они будут первичными геометрическими понятиями, принимаемыми без определения, остальным понятиям даются определения.

Здесь же выясняется абстрактный характер геометрических понятий (точка не имеет размеров, прямая не ограничена, бесконечна и т. п.), мотивируется необходимость подобного абстрагирования, показывается логическое строение геометрии, роль аксиом и теорем.

Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как большинство определений в средней школе – определения через род и видовое отличие, то рассмотрим правила этих определений.

Требования к определению понятий:

1). Определяемое и определяющее понятия должны быть соизмеримы (т.е. совокупности, охватываемых ими предметов, должны совпадать). Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) ошибка «слишком широкого определения», при которой объем определяющего понятия становится шире объема определяемого. Например, параллелограмм – это многоугольник, противоположные стороны которого параллельны. Контрпример – шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны. Например, ромб—четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями (контпример - ромбоид).

б) ошибка «слишком узкого определения», при этом в качестве видового понятия берется отличительный признак не вида, а подвида. Объем определяющего понятия оказывается уже объема определяемого. Например, параллелограмм – это четырехугольник с равными сторонами. Исправление ошибки – пример параллелограмма, который не подпадает под это определение. Например, ромб—четырехугольник с прямыми углами и взаимно перпендикулярными диагоналями. Нарисовать ромб, но не квадрат.

Так как профилактика всегда лучше лечения, то соответствующую работу следует проводить непосредственно в процессе изучения данного понятия.

2). Запрещается порочный круг. Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) определение понятия через само себя (тавтология), то есть определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, «решение уравнения – это то число, которое является его решением». «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны». «Геометрия – это наука о геометрических фигурах». Учителю следует разъяснять смысл и назначение определения;

б) круг в определении, то есть при определении используется другое понятие, которое в свою очередь определяется с помощью первого. Например, «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол". «Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел» и «Произведением чисел называется результат умножения этих чисел». В подобных случаях надо сопоставить оба определения, разъяснить суть ошибок.

3). Отсутствие в определении избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятий. Например, «Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Требование равенства противоположных сторон четырехугольника – избыточно. Это свойство параллелограмма, которое доказывается учащимися.

4). Необходимо, чтобы определяемый объект существовал. Например, «Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы – тупые».

Важно обучать школьников отысканию лишних слов в определении.

Имеет смысл давать задания: отыскать лишние слова, например, в определении «Диаметром окружности называется отрезок, проходящий через ее центр, соединяющий две ее точки и делящий окружность пополам».

Полезны упражнения по сокращению определения путем использования термина (см. предыдущее определение).

Полезно давать задания на сравнение двух одинаково правильных и одинаково кратких определений с точки зрения того, какое из них легче проверить (подвести конкретный случай под определение).

Например, 1) диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр;

2) диаметром окружности называется ее наибольшая хорда.

Одна из существенных рекомендаций психологов при усвоении понятий состоит в необходимости варьирования несущественных признаков понятия (принцип варьирования) как при конкретно-индуктивном, так и при абстрактно-дедуктивном методе.

Отсутствие необходимых вариаций часто приводит к формированию неправильных представлений о понятиях.

Например, при построении прямой, перпендикулярной данной прямой а и проходящей через данную точку А с помощью линейки и треугольника (математика 6 кл.) все прямые а выбирались горизонтально. Если потом предложить учащимся построить прямую b , перпендикулярную к прямой а , которая расположена не горизонтально, то почти у всех школьников прямая b все равно оказывается вертикальной.

Серьезным недостатком преподавания является неправильная методика исправления ошибок в определениях, даваемых учащимися. Если ученик неправильно дает определение понятия, то нельзя вызывать второго, третьего и т.д. ученика, пока кто-то не даст правильное определение, не выясняя, в чем ошибка (ее причина, сущность) и, следовательно, не предупреждая повторения ее другими учениками.

Важно требовать полных ответов учащихся. Они часто теряют определяющее слово. Например,

- Какие многоугольники называются подобными?

- Это, если углы одного равны углам другого.

Можно сделать выводы.

1. При введении математических понятий учащиеся должны понимать, что существуют различные их определения. В учебнике выбирается одно из них из методических соображений.

2. Не обязательно сразу давать учащимся определение в законченной форме. Полезна деятельность школьников по отысканию правильной формулировки, ее уточнению, отбрасыванию лишних слов.

3. При повторении определения на последующих уроках следует на примерах показывать ошибочность определений учащихся, либо подтверждать приемлемость определений.

4. Необходимо вести систематическую работу по выработке навыков подведения под определение.

Что значит, что понятие и его определение усвоено учащимся, какие уровни усвоения поня­тий возможны?

Уровни усвоения учащимися понятий можно пред­ставить в виде следующей последовательности. Учащийся:

- узнает понятия;

- знает формулировку определения;

- понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несуществен­ных;

- может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;

- может доказать, почему некоторый объект подходит под опре­деление, а другой - нет;

- может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;

- может использовать понятия в неявных ситуациях, при реше­нии нестандартных задач.

Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изу­чения понятий.

Какие цели развития учащихся может ставить учитель при изу­чении определений? Это - учить правильно формулировать опре­деления, отделять существенные свойства от несущественных, понимать зависимость между существенными свойствами в опре­делении, осознавать приемы, которые используются при решении задач: подводить под определения, классифицировать, устанав­ливать связи между понятиями. Эти умения относятся к общим интеллектуальным умениям, так как используются в различных на­уках и школьных предметах. Эти умения являются умениями раз­витого понятийного логического мышления.

Занятия № 6, №7. Тема «Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам».

Литература

1. Ананчанка, К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе /К.А.Ананчанка. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997.

2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.

3. Метельский, Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. по­собие для вузов. 2-е изд., перераб. / Н. В. Метельский. — Минск, 1982.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.

Задания для самостоятельной работы

1. Поясните, что такое суждение, умозаключение. Приведите примеры. Укажите, что такое теорема, аксиома.

2. Поясните, что означают требования непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом.

3. Составьте теорему обратную, противоположную, обратную противоположной к теореме, выражающей свойство равно­бедренного треугольника. Придумайте примеры теорем, обратные предложения к кото­рым не верны.

4. Приведите примеры доказательства теоремы синтетическим методом. Докажите эту же теорему с использованием аналитического метода.

5. Проведите доказательство теоремы о свойстве хорд окружности, проходящих через одну точку, методом восходящего анализа.

6. Придумайте пропедевтические задания и задания для осуществления мотивации при изу­чении теорем: признаков равенства треугольников; теоремы о сумме углов треугольника; теоремы Пифагора; теоремы ко­синусов; признака перпен­дикулярности прямой и плоскости

7. Придумайте задания, выполнение которых организует дея­тельность учащихся на получение формулировок теорем.

8. Приведите примеры оформления полученного доказательства выбранной вами теоремы.

Методические рекомендации

Методические задачи, решаемые при изучении теорем. Воспитание у учащихся потребности в доказательствах

Доказывать, обо­сновывать свою точку зрения необходимо уметь каждому куль­турному человеку не только в математике, но и в жизни вообще. При обучении учащихся доказы­вать ту или другую теорему учителем ставятся цели развития учащихся (общие учебные задачи) - развитие творческого мышле­ния (обучение поиску доказательства) и развитие логического мышления.

При доказательстве теорем решаются следующие методические задачи:

- знакомство с содержание теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных задач;

- доказательство развивает навыки логических рассуждений (неосознанного использования законов логики и правил вывода, умения различать прямую и обратную теорему, свойства и признаки понятий, необходимые и достаточные усло­вия, формулировать пред­ложения в различных формах и т.д.);

- доказательство приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений;

- доказательство теорем дает возможность осознать дедуктивный характер математики;

- в ходе доказательств теорем у учащихся развиваются умения проводить доказательство вооб­ще, выделять тезис-требование и условия, в которых оно доказы­вается, расчленять рассуждения на отдельные логические шаги и обосновывать каж­дый шаг, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математических ситуаций и др.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем способствует сознательному и глубокому изучению учащимися математики на продолжении всего периода обучения.

Было время, когда учителя и методисты спорили о том, спо­собны ли учащиеся 12-13 лет воспринимать логические доказа­тельства, понимать их необходимость. Практика отечественной школы дала на этот вопрос положительный ответ. Пониманию необходимости доказательств способствуют проведение самих доказательств, приучение к требованию проведения строгого доказательства, неоднократное возвращение к вопросу о прин­ципах построения дедуктивного курса.

Приобщением учащихся к доказательствам необходимо за­ниматься до начала изучения систематических математических курсов, в курсе математики 5-6 классов. Отдельные методисты предлагают ввести в 5-6 классах специальные дополнительные упражнения нематематического содержания на доказательство.

ПРИМЕР. В одном из месяцев года первое и последнее число месяца пришлось на одинаковый день недели. Сколько дней было в году?

Однако само содержание курса математики предоставляет большие возможности для постановки задач на доказательство. Приведем примеры.

1. Доказать, что 10 • 3 = 30.

2. Объяснить, почему 35-20 = 15.

3. Доказать, что от числа 120 находится действием умножения 120 на дробь.

4. Доказать, что число, которого равно 120, находится де­лением 120 на дробь .

5. Указать, в какой зависимости находятся величины скорос­ти и времени при постоянном пути. Обоснуйте ответ.

6. Указать, в какой зависимости находятся величины времени и пути при неизменной скорости.

7. Доказать, что при сложении дробей с различными знамена­телями нельзя складывать отдельно числители и отдельно знаме­натели и т. д.

При понимании необходимости решения проблемы развития логического мышления, при внимательном рассмотрении мате­риала учитель сам найдет немало возможностей создания неболь­ших упражнений на доказательство. Докажи, что неизвестное уменьшаемое находится сложением вычитаемого и разности, что данная задача решается нахожде­нием дроби от числа, что данная задача решается с помощью составления пропорции - вопросы, доступные пониманию зна­чительной части учащихся. Первые доказательства должны ка­саться неочевидных вещей. Роль учителя - пробудить сомнения в доказательстве со ссылкой на очевидность. Необ­ходимо подчеркнуть требование точности и общности доказа­тельств: если тридцать учеников класса при построении равно­бедренного треугольника получили равные углы при основании треугольника, то это еще не говорит о том, что в тридцать первом случае при основании равнобедренного треугольника получатся равные углы, а все равнобедренные треугольники по отдельнос­ти рассмотреть невозможно.

Чтобы убедить учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов, достаточ­но рассмотреть, например, следующую ситуацию.

Утверждается, что формула является формулой простого числа. На самом деле, при изменении n от 1 до 15 выра­жение является простым числом, однако при n = 16 - это число составное.

Воспитание у учащихся потребности в доказательстве предусматривает формирование убеждений в ограниченности опытно-индуктивных обоснований. Учащиеся должны усвоить, что при доказательстве теорем нельзя пользоваться тем, что видно из рисунка, или получено в результате измерений углов, отрезков на чертеже. Эти результаты могут служить только выдвижению предположений, гипотез, которые должны обосновываться или опровергаться на основании использования аксиом или ранее доказанных теорем.

Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам

Принципы подхода к обучению учащихся теоремам и их дока­зательствам следуют из двух соображений. Во-первых, теорема – это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зре­ния в изучении теоремы можно выделить следующие этапы : под­готовка к изучению нового (пропедевтика), мотивация изучения нового материала, введение нового – организация его восприятия, понимания, закрепление, применение. Во-вторых, теорема является задачей на доказательство, выражающей некоторое важ­ное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются рекомендации, относящиеся к различным эта­пам решения задач, таким как обучение поиску закономерности, идеи доказательства, обучение анализу условия и исследованию полученного решения.

При обучении учащихся теоремам могут иметь место различ­ные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский. Выбор метода обучения диктуется содержа­нием теоремы, методом ее доказательства, конкретными возмож­ностями учащихся. Выбор метода осуществляется при логико-математическом анализе материала, подлежащего изучению. Как при объяснении нового материала учителем, так и при организации поисковой деятельности учащихся имеют место все перечисленные ранее этапы изучения нового материала, которые далее будут рассмотрены на конкретных примерах.

Пропедевтика заключается в актуализации необходимых зна­ний. Например, перед доказательством формулы площади парал­лелограмма целесообразно вспомнить основные свойства площа­дей простых фигур, формулу для нахождения площади прямоу­гольника, признаки равенства треугольников. Пропедевтика так­же заключается в снятии определенных трудностей – вынесении некоторых моментов доказательства в самостоятельные задачи, которые можно решить до изучения основного материала, до до­казательства теоремы. Возможные трудности определяются учи­телем в результате анализа самого доказательства.

Аргументом в пользу привлечения пропедевтических упраж­нений является наличие таких ситуации, когда трудные моменты доказательства поглощают все внимание ученика, заставляя за­быть, что доказывается. При этом оказывается, что учащиеся попадают в облегченные условия, когда трудности не преодоле­ваются, а предупреждаются, что является контраргументом в ис­пользовании пропедевтических упражнений.

Если теорема Пифагора доказывается методом «штанов», то перед ее изучением можно предложить доказать, что если фигура - квадрат, = ВС₁ = = то ABCD – тоже квадрат (см. рисунок).

Другой пример. Для того чтобы выяснить положение центра вписанной в правильную пирамиду сферы, полезно предваритель­но доказать, что любая точка высоты правильной пирамиды оди­наково удалена от всех боковых граней пирамиды.

Для того чтобы повысить интерес к изучаемой теореме, чтобы ее изучение стало лично значимой целью (мотивация изучения нового материала ), полезно перед изучени­ем теоремы предъявлять интересные задачи, желательно практи­ческого содержания, которые для своего решения требуют изуче­ния нового материала. Отсутствие необходимых знаний побуж­дает к поиску.

Пример: как построить медиану равнобедренного треугольника, про­веденную к его основанию, если вершина треугольника недоступна - задание, предъявляемое перед изучением соответствующего свойства равно­бедренного треугольника.

Очень часто приходится встречаться с таким фактом, когда учащиеся заучивают формулировки теорем, не осознавая полно­стью их смысла. Если ученик сам находит закономерность, сам формулирует теорему, то это позволяет избавиться от формализ­ма в знании формулировок. Для самостоятельного получения фор­мулировок теорем учащиеся могут использовать различные по­строения, вычисления, измерения, модели.

Приведем примеры.

1. Перед изучением теоремы Фалеса учащихся просят постро­ить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные отрезки, через их концы провести параллельные прямые и изме­рить получившиеся отрезки на другой стороне угла. Сопоставле­ние результатов, полученных разными учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного отношения.

2. Перед изучением свойств арифметического квадратного корня можно предложить провести следующие вычисления: и , затем сравнить результаты.

Аналогично с помощью выполнения измерений, вычислений, использования наглядных пособий можно привести учащихся к самостоятельному формулированию любой теоремы. После того как закономерность учащимися выявлена, необходимо скоррек­тировать формулировку, привлекая к этому учеников и аргумен­тируя эту корректировку. Можно также предложить учащимся проанализировать формулировку теоремы, содержащую ошиб­ку. Ошибки в формулировках теорем выявляются с помощью при­ведения контрпримеров. Эту работу можно отнести к этапу зак­репления формулировки теоремы.

Например, если учащимися предлагается следующая форму­лировка теоремы: «Против большего угла лежит и большая сто­рона», то можно предложить рассмотреть в качестве контрприме­ра два неравных треугольника, для которых сформулированное предложение неверно.

Для понимания формулировки и доказательства теоремы , для снятия трудностей в ее использовании необходимо выделять в формулировке условие и заключение, данные и требование. Это выполнить труднее, если теорема сформулирована в категорич­ной, а не условной форме. Поэтому категоричную форму полезно переделывать в условную и наоборот, что не всегда легко осуще­ствляется. Задания для учащихся при этом могут выглядеть сле­дующим образом:

1. Сформулировать в условной форме: а) теорему Пифагора; б) теорему о сумме углов треугольника; 3) теорему Виета; г) тео­рему о средней линии трапеции.

2. Сформулировать в категоричной форме: а) признаки равен­ства треугольников; б) признаки параллельности прямых и т. д.

При формулировании теоремы учащиеся часто вместо требуе­мой теоремы произносят ей обратную. Этой логической ошибки можно избежать, изучая вопрос об обратных теоремах, формируя умения различать свойства и признаки понятий. Поэтому понятие об обратной теореме рассматривается в начале курса геометрии. При этом необходимо научить ученика строить предложение, об­ратное данной теореме, и определять его истинность. Рассмотре­ние ситуаций, когда предложение, обратное некоторой теореме, не является верным, способствует разграничению двух понятий: прямой и обратной теоремы и правильному их использованию.

При конструировании формулировок обратных теорем могут возникнуть трудности, например, для теорем: а) в ромбе диагона­ли перпендикулярны; б) в параллелограмме диагонали, пересе­каясь, делятся пополам.

Для выхода из этой ситуации было предложено выде­лять в формулировке теоремы разъяснительную часть, которая остается инвариантной в формулировках как прямой, так и об­ратной теорем. Для последнего примера это будет выглядеть сле­дующим образом: если четырехугольник является параллелограм­мом, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делят­ся пополам. Термин четырехугольник составляет разъяснитель­ную часть условия теоремы.

Переходим к вопросу о краткой записи формулировки теоре­мы . Переход от правильной формулировки к правильной схема­тической записи условия и заключения является работой, требу­ющей достаточно развитого логического мышления. В начале систематического курса геометрии возникает вопрос, насколько подробно следует записывать условие и заключение теорем. Записи условия и заключения теоремы должны быть настолько подроб­ными, чтобы по записи можно было полностью восстановить текст формулировки теоремы. И в то же время запись условия не долж­на содержать ничего лишнего.

Доказательство теоремы учащиеся могут получить с большой долей самостоятельности, если это доказательство предъявлено ученикам в виде последовательности задач, доступных для само­стоятельного решения. Например, чтобы доказать свойство впи­санного в окружность угла, достаточно предъявить учащимся три задачи с конкретными числовыми данными на нахождение число­вого значения величины вписанного угла по значению величины центрального угла в случаях, когда центр окружности лежит на стороне вписанного угла, внутри и вне угла.

По поводу оформления доказательств можно высказать ряд соображений. Оформление доказательств с выделением утверж­дений и их обоснований, фактов и аргументов необходимо для понимания доказательства, для понимания построения всего де­дуктивного курса геометрии, для воспитания потребности в до­казательстве. Краткой записи полученных доказательств учащих­ся необходимо обучать специально. Следует также обучать запи­си доказательств, представленных в учебнике. Это специальная, трудная и необходимая работа. В алгебраических доказатель­ствах, при различных алгебраических преобразованиях исполь­зуется запись аргументов над знаками равенства.

После получения и осуществления идеи доказательства теоре­мы, после записи доказательства теоремы необходим этап зак­репления полученного доказательства. Этот этап является зак­реплением самого доказательства и предшествует закреплению и применению применению формулировки теоремы. На уроках этот этап иногда неоправданно не находит своего места.

Этап закрепления доказательства в изучении теоремы предпо­лагает работу по выявлению, поняты ли идея, метод доказатель­ства и отдельные его шаги. Вопросы: «Понятно ли доказатель­ство?», «Кто не понял доказательства?» дают мало или вообще не дают информации учителю, насколько доказательство теоремы оказалось усвоенным учащимися. При осуществлении этапа зак­репления полученного доказательства можно с помощью вопро­сов, обращенных к учащимся, снова «пройтись» по всему доказа­тельству, можно попросить объяснить отдельные шаги доказа­тельства, перечислить все аксиомы, теоремы и определения, ко­торые используются в доказательстве, выяснить, где использует­ся какое-либо данное, все ли условия оказались использованны­ми, какое и почему дополнительное построение оказалось полез­ным при поиске доказательства, в чем заключается основная идея доказательства, что оказалось несущественным для доказатель­ства и что может быть изменено, нет ли других способов доказа­тельства рассматриваемой теоремы, всегда ли полученное дока­зательство имеет смысл.

Повторение доказательства приобретает большую ценность, если оно варьирует обозначения на неизменном чертеже, а также сам чертеж.

Например, если теорема о сумме углов треугольника изучает­ся по чертежу, представленному на рис. а , то закрепление полез­но провести по другому чертежу (рис. б ).

Все рассмотренные этапы изучения теоремы имеют место при любом методе изучения, как при частично-поисковом, так и при объяснительно-иллюстративном. Разница – в уровне активности и самостоятельности учащихся при получении доказательства теоремы.

Следующий этап изучения теоремы – закрепление и примене­ние формулировки теоремы . На этапе закрепления теоремы возможна работа над формули­ровкой теоремы, над ее запоминанием, обучением узнаванию изу­ченной теоремы в различных ситуациях и применением в простей­ших случаях и в различных комбинациях.

Поэлементной отработке каждого слова формулировки и ее запоминанию способствует компактный метод, когда формулировка теоремы, как и ранее рассмотренные фор­мулировки определений, разбиваются на составные части и про­износятся вслух и используются по частям. Такая работа способ­ствует и осознанию, и запоминанию теорем. Рассмотрим, как мо­жет проходить закрепление формулировки теоремы компактным методом на примере теоремы о трех перпендикулярах.

Учитель вместе с учащимися разбивает формулировку теоре­мы на составные части и отмечает наличие каждой части в рас­сматриваемой ситуации (см. рисунок):

1) прямая, лежащая в плос­кости (показывает прямую PD ); 2) перпендикулярная проекций наклонной (показывает проекцию и наклонную АВ ); 3) прове­денная через основание наклонной (показывает точку В – основание наклонной);

4) перпендикулярна и самой наклонной (пока­зывает прямой угол АВ D ).

На этапе закрепления формулировки теоремы о трех перпен­дикулярах можно выяснить, является ли обязательным требова­ние прохождения прямой, лежащей в плоскости, через основание наклонной и принадлежности плоскости PCD . Получается более широкая формулировка теоремы.

Узнавание теоремы о трех перпендикулярах в различных си­туациях может быть организовано на задачах:

1. SABC - пирамида с высотой SO . OD – перпендикуляр к АС . Доказать, что SD – высота боковой грани.

2. К плоскости треугольника АВС из центра О вписанной ок­ружности проведен перпендикуляр ОК . Окружность касается сто­рон АС , ВС и АВ соответственно в точках D , E , F . Определить взаимное положение прямых KD и АС , ВС и КЕ , АВ и KF .

3. На изображении куба построить несколько прямых, перпен­дикулярных диагонали куба.

Узнаванию теорем в практических ситуациях, в частности те­оремы о трех перпендикулярах, будет способствовать выполне­ние задания: выяснить, какие условия несущественны для примене­ния теоремы, что можно варьировать в условиях задач, решае­мых с помощью рассматриваемой теоремы.

Еще один этап, рассматриваемый нами как этап изучения тео­ремы, - этап систематизации знаний . Известно, что никакой факт нельзя считать усвоенным, пока он не занял определенного места в имеющейся системе знаний. Понимая взаимосвязи между теоре­мами, ученик может восстановить самостоятельно забытые фор­мулировки теорем, формулы. Для систематизации теорем важно выяснить место теоремы в системе других сведений: признаком или свойством некоторого понятия является теорема, следствием каких теорем она является и что является ее следствиями. Напри­мер, нельзя считать знание теоремы косинусов систематизирован­ным, если учащиеся не понимают, что теорема Пифагора – част­ный случай этой теоремы. Для выяснения взаимосвязей между теоремами, для запоминания способов доказательства теорем полезно строить генеалогические деревья зависимостей между теоремами, например, для теоремы о косинусе разности двух уг­лов такая зависимость может выглядеть следующим образом:

Такая работа, особенно на начальных этапах обучения гео­метрии, способствует пониманию дедуктивного характера пост­роения самой геометрии.

Наличие всех рассмотренных этапов при обучении каждой тео­реме требует большого расхода времени. И в полном, разверну­том виде все этапы могут быть представлены лишь в отдельных, удобных для этого случаях. А в различных конкретных ситуаци­ях на первый план выдвигается то один, то другой этап, предпоч­тение отдается то поиску формулировки, то обучению записи по­лученного доказательства, то поиску идеи доказательства, то исследованию – в зависимости от требований ситуации.

Трудности и ошибки учащихся при применении теорем те же, что и при решении задач. Очень распространенной ошибкой яв­ляются смешивание определений и теорем, признаков и свойств понятий; использование вместо прямой теоремы обратной и на­оборот; использование в доказательстве теоремы, которую пред­стоит доказать; доказательство того, что дано в теореме; исполь­зование недоказанных утверждений и другие.

Все эти ошибки одного порядка – непонимание логики постро­ения курса, логических взаимосвязей между элементами теории. В этих условиях особое значение приобретают выполнение заданий на систематизацию понятий и теорем, выяснение логики построе­ния формулировки и доказательства теорем. При исправлении ло­гических ошибок учащихся необходимо учесть следующую реко­мендацию: замене неверных ответов на верные должны предше­ствовать совместный анализ учителем и учащимися неверных от­ветов и выявление допущенных ошибок. Обучение доказательству, выявление допущенных при доказательстве ошибок – составная часть важнейшей задачи развития логического мышления.

Выделим возможные уровни усвоения учащимися теорем. Учащийся: 1) правильно формулирует теоре­му, понимает каждое слово в формулировке; 2) может привести свой пример на применение формулировки; 3) может повторить доказательство; 4) понимает идею и план доказательства, может варьировать обозначения, чертеж, метод доказательства; 5) уз­нает и применяет теорему в знакомой ситуации; 6) узнает и приме­няет теорему в незнакомой ситуации.

Приведенные уровни усвоения теоремы являются перечисле­нием дидактических целей – целей обучения, которые учитель ставит на отдельных уроках по изучению той или иной теоремы. В соответствии с выделенными целями строится урок – выбира­ются методы и формы работы, строятся системы упражнений.

Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке

Приведем перечень основных действий, выполнение которых поможет учителю при подготовке к доказательству теорем на уроке.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение сущности каждого элемента формулировки.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значения теоремы в системе теорем раздела и всего курса.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы.

6. Выявление других возможных способов доказательства.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10. Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

В результате анализа теоремы и ее доказательства необходимо сделать вывод о методике изучения рассматриваемой теоремы на уроке, о целесообразности применения тех или иных методов обучения.

Занятие № 8. Тема «Организация обучения решению математических задач».

Литература

1. Габович, И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач /И.Г. Габович. – М.: Просвещение, 1996.

2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.

3. Колягин, Ю.М., Оганесян, В.А. Учись решать задачи / Ю.М.Колягин, В.А.Оганесян. – М.: Просвещение, 1980.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.

5. Пойа Д. Как решать задачу. - Львов: Квантор, 1991.

6. Фридман, Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий. – М.: Просвещение, 1989.

Задания для самостоятельной работы

1. Поясните, как определяется роль задач в зависимости от целей обучения математике.

2. Охарактеризуйте роль задач в современном обучении математике.

3. Перечислите основные функции задач в обучении математике. Охарактеризуйте обучающие, контролирующие, воспитывающие функции задач.

4. Приведите примеры, когда одна и та же учебная задача реализуют различные ведущие функции.

5. Раскройте содержание этапов решения задачи: осмысление условия, составление плана решения задачи, осуществление плана решения, изучение найденного решения задачи.

6. На конкретных примерах проиллюстрируйте организацию деятельности учащихся по анализу условия и требования задачи, составлении схематической, табличной, структурной, графической и др. видов моделей задач.

7. Приведите примеры оформления решения текстовых задач, решаемых арифметическим методом, методом составления уравнения, геометрических задач на доказательство и др.

8. Продумайте организацию деятельности учащихся по проверке и исследова­нию полученного решения выбранной вами задачи.

Методические рекомендации

В настоящее время первостепенной является задача интеллектуального развития, включающего способность человека к усвоению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации. Поэтому использование учебных задач является важнейшим средством формирования знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики.

Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Осмысление условия задачи (1 этап).

- Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели).

- Поиск необходимой информации в сложной системе памяти.

- Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися зна­ниями и опытом.

Составление плана решения задачи (2-й этап).

- Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и ис­комых.

- Попытки подвести задачу под известный тип.

- Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных).

- Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректи­ровка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенно­го плана решения задачи и т.д.

Осуществление плана решения задачи (3-й этап).

- Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с услови­ем и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.

Изучение найденного решения задачи (4-й этап).

- Фиксация конечного результата решения.

- Критический анализ результата (взгляд назад), поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление сущест­венного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.

Умение самостоятельно решать задачи - важное умение не только для тех, кто будет в дальнейшей жизни заниматься мате­матикой, но и для всех учащихся. Человеку в повседневной жиз­ни приходится постоянно решать задачи и даже ставить их, прав­да, они несколько отличаются от школьных задач, иногда своей неопределенностью, иногда неразрешимостью. Умение органи­зовать поиск - черта активной, самостоятельной личности. Уме­ние самостоятельно решать задачи является показателем высоко­го интеллектуального развития. К сожалению, в школьной прак­тике довольно часто можно наблюдать отсутствие этого умения.

Из каких составляющих, из каких отдельных умений складыва­ется общее умение решать задачи ?

Это: умение проводить анализ условия задачи; умение применять изученную теорию (определение, теорему, правило) на практике; это умение предполагает узнавание возможности применения теории и собственно применение, поэто­му теорема, определение, правило принимают в сознании вид алгоритма или предписания, по которому совершается дей­ствие; умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу; умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.

Осмысление условия задачи (1 этап).

Как можно формировать умение анализировать условие зада­чи? Анализу условия задачи следует обучать во всех разделах школьного курса математики: в арифметике, алгебре, геометрии. Как уже было отмечено, анализ условия задачи состоит в выделе­нии данных и искомых, в выяснении значения каждого слова, в выяснении структуры задачи: какая и сколько ситуаций, объек­тов рассматриваются, какие величины входят в рассмотрение, каково соотношение между величинами в данной задаче, какая информация имеется в условии задачи в скрытом виде.

При решении каждой задачи, способ решения которой неизве­стен, используются синтетический и аналитический методы - про­исходит встречный процесс от данных к требованию (синтез) и от требований к данным (анализ). На каком-то шаге устанавлива­ется связь этих двух процессов - находится недостающий эле­мент, отношение - задача решена.

К какому бы разделу математики задача ни относилась, при ее решении происходит получение следствий из условия, какие-то условия заменяются эквивалентными, переформулируются, при­обретают более удобный для операций вид, какие-то условия свя­зываются. Установление связей между данными происходит не хаотично, а после выяснения отношений между данными под воз­действием промежуточных и окончательных целей. Нахождение новых величин, отношений носит целенаправленный характер.

В процессе осмысления условия задачи можно выделить:

1). Умение анализировать требование задачи .

Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в ему равносильное.

Например, докажем, что четырехугольник АВС D – квадрат, если докажем, что он поворотом на 90º отображается на себя.

Формирование этого умения связано с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий;

2). Умение анализировать условие задачи.

Под анализом условия задачи можно понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.

Вся информация может быть разделена на три вида: а) информация, непосредственно заданная в условии; б) информация, полученная непосредственно из условия; в) информация, полученная уже из новой, то есть выведенной ранее, информации.

Информация первого вида фиксируется чертежом и специальной записью под названием «дано».

Информация второго и третьего видов может быть получена следующими способами: а) получение следствий из непосредственно заданной информации; б) переосмысливания некоторых объектов (фигур, отношений между ними) в плане других понятий (например, АР – высота треугольника АВС, значит, АР ВС ; задан правильный треугольник, значит, можно найти радиус вписанной и радиус описанной окружности и т.п.); в) замена термина его определением; г) перечисление характеристических свойств понятий; д) интерпретация символических записей; е) перевод содержания задачи на язык специальной теории и наоборот (например, векторной).

Часто внимание учащихся на информации второго и третьего вида не обращается, поэтому дальше выполнения рисунка и записей «дано» и «требуется доказать» самостоятельное решение не двигается.

Нужно учить школьников получать информацию второго и третьего вида. Полезны упражнения вида: 1) в треугольнике АВС двух сумма углов 90º. Что вы скажете о треугольнике АВС ?; 2) АВС D – трапеция. Назовите несколько свойств этой фигуры; 3) Можно ли прямоугольник определить следующим образом: прямоугольником называется параллелограмм, имеющий прямую, содержащую середины его противоположных сторон, своей осью симметрии?

Очень важно на уроках выполнять анализ условия задачи всем классом.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя не должна быть чрезмерной. Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения решению задач. Нужны вопросы и советы учителя ученику, вызывающие развивающие мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход к решению задач.

Такие вопросы и советы должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой здравый смысл. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь.

Вопросы и советы для осмысления условия задачи (1-й этап).

Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения.

Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения; в) если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик); г) в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других переменных, принятых за искомые; д) уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.

Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

Обучение краткой записи условия задачи - это обуче­ние анализу условия. Краткая запись- это модель текста задачи, материализованная форма проведения действия анализа условия.

Построение модели задачи имеет несколько целей:

а) для фиксации результатов анализа задачи и тем самым для организации самого анализа, поэтому построение модели задачи в этом случае проводится в процессе анализа и по мере его выполнения;

б) для взгляда на задачу с разных точек зрения. Построение модели задача позволяет осуществить процесс переформулирования задачи;

в) построение модели задачи является подготовительным этапом для построения решающей математической модели задачи.

Модель задачи может быть самой различной: схематической, табличной, структурной, графической и т. д. выбор вида модели задачи зависит как от характера задачи, так и от особенностей решающего субъекта, от его умений и навыков, привычного для него способа анализа и построения модели задачи. При построении модели ученик опирается, с одной стороны, на данный ему текст задачи, а с другой – на приобретенные в результате жизненного опыта и школьного обучения знания о предметном содержании количественных соотношений, встречающихся в задачах, и на способы описания этих соотношений.

Например, рассмотрим две модели для задачи «Моторная лодка прошла расстояние между двумя пристанями А и В по течению реки за 6 часов, а обратный путь она свершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между этими пристанями плот, пущенный по течению реки?»

Табличная модель имеет следующий вид:

Графическая модель этой задачи имеет такой вид:

А

Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие полностью понято. Самоконтролем на этом этапе являют­ся пересказ условия, подсчет данных и требования, проверка схем.

При осуществлении поиска основной идеи задачи продолжа­ется выявление скрытых отношений, структуры задачи: рассмат­риваются под удобным углом зрения данные и требования, проис­ходит сопоставление решаемой задачи с ранее решенными, кон­струируется модель задачи в соответствии с выдвигаемой гипо­тезой, осуществляется мысленный эксперимент, привлекаются различные эвристики.

При этом самоконтроль осуществляется при пересказе текста задачи своими словами для выяснения, не забыто ли какое-либо данное, каждое ли слово в тексте понято. Если условие задачи моделируется с помощью чертежа, таблицы, то необходимо про­верить, каждому ли данному нашлось место в этой модели. Для того чтобы проверить, правильно ли понято условие, можно ре­комендовать восстановить текст задачи по краткой записи, моде­ли, чертежу.

Составление плана решения задачи (2-й этап), пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, "открыть" идею ее решения:

1). Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.

2). Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.

3). Стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.

При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.

Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, то сть язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, "математизация" ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.

4). Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

5). При составлении плана решения задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.

6). Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.

7). Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рассуждений - явное применение полной индукции. Итак, совет: "Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения".

При выдвижении гипотезы относительно возможного решения самоконтроль заключается в том, что решающему необходимо доказать себе, что выбор пути сделан правильно: что с помощью выбранной теоремы, правила, приема, определения можно довес­ти решение задачи до логического конца; что задача подходит под определенный тип, предписание для которого имеется; что выбранная эвристика позволяет наметить ход решения задачи. Если ситуацию нельзя подвести под известный прием, если ис­пользованная эвристика заводит в тупик, если использованная теория не позволяет довести решение задачи до конца, необходи­мо отказаться от намеченного плана и продолжить анализ усло­вия и привлечение новых идей.

План указывает лишь общий контур решения задачи.

При реализации плана (3-й этап) решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Деятельность ре­шающего состоит в применении выделенных эвристик, приемов, правил, определений, и при этом самоконтроль проявляет себя как пошаговый, пооперационный самоконтроль. Пошаговому контролю ученик обучается в рамках формирования различных приемов учебной работы и умственных действий, при обучении использованию определений, правил, теорем.

При этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:

1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.

Изучение найденного решения задачи (4-й этап) является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.

Таким образом, после оформления решения необходимо выявление идей (главной мысли), положенных в основу решения. Решение задачи несколькими способами является одним из путей проверки правильности полученного результата. Важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и находчивости.

На ранее перечисленных этапах решения задачи самоконтроль проявляет себя как естественная неотрывная составляющая поис­ковой деятельности, которая может и не осознаваться решающим.

Последнему этапу решения задачи - проверке и исследова­нию полученного решения (4 этап) присвоен особый статус этапа, на ко­тором осуществляется самоконтроль.

В методике преподавания математике выделены различные формы самоконтроля, проводимые после завершения этапа реа­лизации намеченного плана. Приведем примеры та­ких форм.

1.Проверка с помощью частного случая. Например, если при решении неравенства получен некоторый числовой промежуток, то можно проверить некоторые конкретные значения переменной из этого промежутка.

2. Проверка совпадения размерности ответа с требованием за­дачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км).

3. Проверка симметричности ответа, если в условии задачи какие-то данные симметричны. Например, если уравнения, вхо­дящие в систему, симметричны относительно переменных, то и найденные значения различных переменных должны быть равны.

4. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д.

5. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо округляются и выясняется порядок возможного результата.

6. Проверка с помощью обратной задачи или с помощью дру­гого способа решения.

7. Проверка текстовых задач, решенных с помощью составле­ния уравнения, по смыслу. При этом необходимо, чтобы все про­межуточные величины, зависящие от х, которые появляются в ходе решения задачи, имели бы смысл при полученном значении пере­менной.

Приведенные формы проверки, кроме 6, не дают полной га­рантии правильно найденного и выполненного решения, но, тем не менее, с ними полезно ознакомить учащихся.

Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить рецептом для решения любой задачи. Эти советы, многие из которых сформулировал Д. Пойа, правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же рецепта для решения любых

Организация обучения решению математических задач

Фронтальное решение задач . Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.

При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. Например, таблички с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).

Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.

Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц - более трудоемкое дело, чем кодопозитивов, а результаты использования практически равноценны.

Письменное решение задач с записью на классной доске . В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.

Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).

Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариантов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе условия задачи наметить вместе с учениками несколько вариантов решения задачи. Некоторые из них как нерациональные могут быть сразу отвергнуты. Другие же не отвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двух-трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если позволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, решающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Можно варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью которого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.

Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.

Во-первых, оно значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятельность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики.

Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики.

В-третьих, самостоятельное решение математических задач часто сокращает время, необходимое для опроса учащихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач.

В-четвертых, учитель получает возможность направлять индивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.

Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.

Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики. Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.

Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.

Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.

Комментирование решения математических задач . Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.

Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-нибудь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования: "Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

Обозначим первое из этих чисел буквой n. Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1, n+2, так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат. Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 и n +1, а потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n."

Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.

Индивидуальное решение задач .

Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач . Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.

Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Важна индивидуализация учебных математических задач по силам и возможностям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач . В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь "Дидактические материалы по алгебре", "Дидактические материалы по геометрии" для различных классов. При такой постановке обучения слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике. Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Эти группы не должны иметь постоянного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся "переводятся" из группы для менее подготовленных в другую - для более подготовленных.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допущенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам. Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются .задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбираются с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.

Домашнее решение задач учащимися . Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помогают усвоению математики. Решая домашние задачи "как в классе", ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем решение задач.

Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая задачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания. Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.

Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увлечение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении решению задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.

Занятия № 9, № 10. Тема «Модели обучения, построенные с учетом психологических закономерностей умственного развития учащихся».

Несмотря на объективные трудности, с которыми сталкивалась школа, на протяжении всей ее истории не прекращались по­пытки разработать и внедрить в практику образования психологи­чески ориентированные модели обучения, построенные с учетом психологических механизмов умственного развития учащихся и свя­занные с созданием инновационных форм и методов образователь­ного процесса.

Перечислим основные из них. Модель обучения — это план действий педагога при осуществлении учебного процес­са; основу этого плана составляет преобладающая учебная деятельность учащихся, которую выстраивает учитель. Согласно этому определению, базовым основанием для разграничения разных моделей обучения является заложенный в них в качест­ве ориентира характер учебной деятельности (Кларин, 1997).

1. «Свободная модель». В процессе обучения в максимальной мере учитывается внутренняя инициатива ученика. При наличии определенной помощи со стороны учителя ребенок тем не менее сам определяет интенсивность и продолжительность своих учебных заня­тий, свободно планирует собственное время, самостоятельно выби­рает средства обучения. Отсутствует сколько-нибудь жесткая систе­ма педагогических воздействий. Напротив, поощряется импровиза­ция и детей, и учителя относительно как содержания, так и способов обучения. Разновидности этой модели («свободный день», «свобод­ный класс» и т. и.) объединяет неформальное отношение к процес­су обучения: отсутствие классно-урочной системы, обязательных учебных программ, контроля и оценки знаний учащихся. Ключе­вой психологический элемент — «свобода индивидуального выбора» (Р. Штайнер, Ф. Г. Кумбе, Ч. Сильберман и др.).

2. «Диалогическая модель». Отмечается необходимость измене­ния содержания и формы школьного образования в направлении ос­воения детьми культурных основ человеческого познания. В центре внимания — целенаправленное развитие интеллекта учащихся, по­нимаемого в качестве «глубинно развитого разума». На первый план выходит формирование диалогизма как основного определения че­ловеческой мысли (в виде диалога культур; диалога идей за счет ос­воения «точек превращения», в которых одна форма понимания пе­реходит в другую (иную); диалога знания и незнания, поскольку знание в его высших формах оказывается полным сомнения и про­блематичности; диалога в сознании ученика голосов поэта и теорети­ка и т. д.).

Признается непредсказуемость, самобытность интеллектуального развития личности, в том числе возможность для ребенка самостоя­тельного, «одинокого» учения (дома, за книгой). Создаются условия для индивидуального интеллектуального творчества, в частности, по­ощряется появление «монстров» в виде странных на первый взгляд выдумок самих детей, которые являются личностными открытиями, часто не зависимыми от логики учебного процесса. Вместо учеб­ников в данной модели используются тексты как произведения со­ответствующей культуры. Отсутствует единая программа, не прак­тикуются обычные отметки. Ключевой психологический элемент — «диалогичность индивидуального сознания» (В. С. Библер, С. Ю. Кур­ганов и др.).

3. «Личностная модель». Основной задачей обучения является общее развитие учащегося, в том числе развитие его познавательных, эмоционально-волевых, нравственных и эстетических возмож­ностей. Организация учебного процесса подчиняется определенным взаимосвязанным принципам, таким как обучение на высоком уров­не трудности; ведущая роль теоретических знаний па начальном этапе обучения; быстрый темп изучения учебного материала; осо­знанный характер учения; одновременная работа по развитию сла­бых и сильных учащихся. Конечная цель личностной модели — дать школьникам целостную картину мира на основе пауки, литера­туры и искусства с учетом трех основных линий общего психическо­го развития учащихся (наблюдения, мышления и практических дей­ствий).

Особое внимание уделяется созданию на уроке атмосферы дове­рительного общения. Методика преподавания отвечает требованиям многогранности (направленности на развитие разных сторон лич­ности ученика), процессуальности (последовательного усложнения усваиваемого знания), проблемности (опоры на коллизии) и вари­антности (гибкости в использовании форм и способов обучения в зависимости от сложившейся на уроке ситуации) (Л. Н. Занков, М. В. Зверева, И. И. Аргинская, Н. В. Нечаева и др.). Разновид­ностью этой модели является система обучения, основанная на личностно-гуманном подходе к детям. В качестве ее отличительной особенности выступает подчеркнутое внимание к индивидуально­сти каждого ребенка и направленность на сотрудничество с детьми (Ш. Амонашвили). Ключевой психологический элемент — «целост­ный личностный рост».

4. «Развивающая модель». Характеризует такой тип обучения, который ориентирован на развитие теоретического мышления в млад­шем школьном возрасте. Согласно этой модели, основная задача обучения заключается в формировании специально организованной учебной деятельности школьников. В частности, в качестве основы учебной деятельности выступает содержательное обобщение: анали­зируя некоторую предметную область, ученик с помощью учителя обнаруживает ее генетически исходное основание и учится мыслен­но прослеживать происхождение ее частных характеристик (т. е. у ученика формируется способность мыслить по принципу «от об­щего — к частному»). Детям предлагаются учебные задачи, в ходе решения которых ученик ищет общий способ подхода к многочис­ленным частным ситуациям. Выполняя такого рода учебные задачи, учащиеся обучаются определенным мыслительным действиям, та­ким как анализ, планирование и рефлексия. В результате уже в млад­шем школьном возрасте дети осваивают учебное знание на уровне научных понятий, овладевают новыми средствами учебной деятель­ности (в виде знаковых моделей), при этом меняется характер учеб­ной активности учащихся (дети включаются в исследовательскую деятельность, работают в режиме диалога и т. п.). Ключевой психо­логический элемент — «способы учебной деятельности» (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, В. В. Репкин и др.).

5. «Структурирующая модель». Особое внимание уделяется ор­ганизации учебной информации, в частности, созданию содержатель­ных комплексов (блоков) в виде «укрупненных дидактических еди­ниц». Укрупненная дидактическая единица (УДЕ) — это «клеточка» учебного процесса, состоящая из различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. УДЕ обладает качества­ми системности и целостности, устойчивостью во времени и быстрой актуализацией в памяти ученика. Обучение на основе укрупнения учебной информации предполагает: совместное и одновременное изу­чение родственных разделов, взаимосвязанных действий и операций; самостоятельное усвоение школьниками знаний на основе сравне­ния, обобщения и аналогии; учет единства образного и логического в мышлении; обратимость мыслительных действий при выполнении упражнений; выход на перспективы развития знания за счет сверты­вания и развертывания учебной информации и т. д. Ключевой пси­хологический элемент — «систематизация знаний» (П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев).

6. «Активизирующая модель». Направлена па повышение уров­ня познавательной активности учащихся за счет включения в учебный процесс проблемных ситуаций, опоры па познавательные потребно­сти и интеллектуальные чувства. В рамках этой модели сохраняются все основные моменты традиционного обучения, в том числе средст­ва контроля за усвоением нормативных знаний, умений и навыков. Однако учитываются два основных психологических фактора эф­фективности обучения: познавательная мотивация и мыслительная активность школьников в условиях разрешения учебных проблем­ных ситуаций. Ключевой психологический элемент — «познаватель­ный интерес» (А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов, М. Н. Скаткин, Г. И. Щукина и др.).

7. «Формирующая модель». Основывается на утверждении, что влиять на умственное развитие ребенка — значит осуществлять це­ленаправленное управление процессом усвоения знаний и умений. При условии прохождения учеником всех его необходимых этапов с учетом специально организованной учителем ориентировочной ос­новы действий можно гарантировать сформированность знаний и умений с наперед заданными качествами. В частности, ученик дол­жен в строгой последовательности пройти следующие этапы: моти­вацию, составление схемы ориентировочной основы действий, мате­риализованные действия, проговаривание на уровне внешней речи, речь про себя, умственное действие — под управляющим влиянием «команд» учителя.

Не составляет исключения и творческая деятельность, поскольку последняя, согласно данному подходу, является нормативным про­цессом, выполняемым на осознаваемом уровне планомерно, теорети­ческим путем. Разновидностью этой модели является программиро­ванное и алгоритмическое обучение. Ключевой психологический элемент — «умственное действие» (Н. Ф. Талызина, И. П. Калошина, В. П. Беспалько и др.).

Детальный анализ вышеуказанных моделей (и предлагаемых тех­нологий обучения) позволяет заметить, что все эти модели образуют своего рода иерархическую «лестницу» в зависимости от баланса двух составляющих: «мера свободы субъективного выбора ребенка — объ­ем управляющих воздействий». Соответственно «свободная модель» отвечает критерию «максимум свободы субъективного выбора — ми­нимум управляющих воздействий», а «формирующая модель» — критерию «минимум свободы субъективного выбора — максимум управляющих воздействий».

Все перечисленные модели (большинство из них ориентирова­но на учащихся начальных классов), несомненно, способствуют по­вышению качества школьного образования, поскольку на первом плане оказывается ученик как субъект деятельности, и основные пе­дагогические усилия направляются на его познавательное и личност­ное развитие. Поэтому неудивительно, что на уровне конкретных методических приемов эти модели в той или иной степени пересека­ются.

Следует заметить, что в некоторых из вышеперечисленных моде­лей не ставится вопрос о необходимости разработки учебников ново­го типа. Так, в «свободной» и «диалогической» моделях учебники как таковые (или стабильные учебные тексты) принципиально не используются, тогда как в «формирующей» и «активизирующей» моделях, как правило, используются традиционные учебники с до­полнительными методическими указаниями учителю по организа­ции учебной деятельности. Исключение составляют «личностная», «развивающая» и «структурирующая» модели, в рамках которых по­ставлена задача создания качественно новых учебных текстов.

Кроме того, каждая из указанных моделей сталкивается с серьез­ным вопросом: как, обучая (а обучение всегда предполагает доста­точно строгий контроль интеллектуального поведения детей через приобщение их к обязательным нормам человеческого познания), в то же время гарантировать каждому ученику возможность свобод­ного и продуктивного интеллектуального саморазвития с учетом свое­образия склада его ума? Ведь как бы там ни было, но, формируя у ребенка «систему прочных знаний», «способы решения задач», «на­учные понятия», «умственные действия с заданными качествами» и т. д., мы тем самым вольно или невольно очерчиваем границы его личной интеллектуальной свободы. С другой стороны, предоставляя ребенку полную свободу действий и произвольно варьируя содержа­ние его учебных занятий, мы рискуем превратить ученика в интел­лектуального иждивенца, неспособного к напряженной и продуктив­ной интеллектуальной работе.

Общая характеристика «обогащающей модели» обучения математике в основной школе (МПИ-проект— «Математика. Психология. Интеллект»)

Психодидактический подход (в том числе задачи интеллектуального воспитания учащихся) диктует необходимость разрешения приме­нительно к условиям школьной практики следующего противоречия. С одной стороны, развитие интеллектуальных возможностей учени­ка может идти только через определенное предметное содержание (соответственно учебник сохраняет свои ведущие позиции в образо­вательном процессе). С другой стороны, содержательная среда, в ко­торую «погружен» ученик в ходе своей учебной деятельности, долж­на создавать условия для его интеллектуального роста.

В целях разрешения этого противоречия была создана «обогаща­ющая модель» обучения, в которой средствами содержания математического образования, а именно средствами специально сконструированных учебных текстов осуществляется интеллектуальное воспитание учащихся основной школы на основе обогащения из ментального (умственного) опыта.

Контрольная работа № 1 (9 ноября – 14 ноября)

Темы:

1. Математика как наука и как учебный предмет в школе;

2. Предмет, цели и задачи обучения математике;

3. Методы обучения математике (общедидактические методы, научные методы);

4. Методика изучения математических понятий.