Дипломная работа: Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Дипломная работа студента Сидорова Ивана

Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка

Минск 2002

Введение

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах которых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории — вероятность события и математическое ожидание.

Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. С того времени теория вероятностей оформляется как математическая наука.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

На наш взгляд, заслуживает внимания методика обучения учащихся теории вероятностей, которая основывается на понятии логико-методической модели “эксперимент”.

Эксперимент — это модель опыта с конечным множеством исходов. Как и в любой модели выделено главное: множество исходов и возможность наступления каждого из них. Некоторые эксперименты доступны детям младшего школьного возраста.

Почему же реально преподавать в начальной школе элементы теории вероятностей?

Она требует весьма немногого от технически формализованной математики: если овладеть действиями с дробями, можно уже весьма далеко продвинуться. Зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде. Теорию вероятностей можно применять также непосредственно как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.

Правильное понимание теории вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации — и это практически единственная возможность после элементарной арифметики, вслед за которой плохо усвоенная дедуктивность делает непонятными другие ветви математики.

Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Мы поддерживаем идею А. Энгеля пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Мы полагаем, что школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности “математизацию” в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне.

Учитывая требования к современному обучению и возможности 6—10 летних детей, школьная программа предусматривает сформировать у учащихся элементы математических понятий и логической структуры мышления. Это требуется от учителя, но, к сожалению, многие из них игнорируют программу. Но даже если учитель программу не игнорирует, то он до конца не понимает как преподавать элементы раздела математики, который называется математическая логика, как включать в систему обучения элементы теории вероятностей и статистики. К сожалению, мало методических пособий для учителей начальной школы, которые помогли бы справиться с такими заданиями, сделали бы обучающий процесс интересным и доступным.

Объект исследования — процесс подготовки учителя начальных классов к обучению младших школьников элементам теории вероятностей и статистики.

Предметом исследования является влияние системы задач на формирование вероятностных и статистических понятий у учеников начальной школы.

Гипотеза исследования. Мыслительные способности, как и всякие другие, можно и надо развивать. Достижению этой цели во многом может способствовать изучение элементов теории вероятностей и статистики через систему специальных задач и экспериментов.

В связи с выдвинутой гипотезой определены цель и задачи исследования.

Цель: показать методику работы использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе; создать систему задач и упражнений, направленных на знакомство и усвоение новых знаний.

Задачи:

 показать доступность изучения элементов теории вероятностей и статистики в начальной школе;

 показать роль задач и экспериментов в усвоении элементарных знаний о теории вероятностей и статистики;

Методологической и теоретической основой являются работы отечественных и зарубежных философов, педагогов, психологов, математиков.

Базой исследования явилась гимназия № 1 г. Слонима.

Во время исследования использованы методы:

— изучение и анализ литературы по психологии, педагогике, логике, математике, учебников по математике для начальной школы под ред. А. А. Столяра;

— анализ действующей программы обучения математике в начальных классах;

— беседа;

— рассказ;

— педагогическое наблюдение за деятельностью учащихся;

— анализ письменных ответов учеников.

Замечание.

1) В первой главе мы предлагаем минимальный теоретический материал, которым должен владеть учитель начальных классов. Здесь мало методических указаний. Но даже из приводимых определений, примеров видно, что материал доступен учащимся III—IV классов, а некоторые из заданий — и более младшим школьникам.

2) Методика работы с элементами теории вероятностей рассматривается во второй главе; там же мы вернемся к ряду положений из главы I.

3) Нумерация задач, примеров — сквозная.

Глава I. Общее представление о теории вероятностей

Вероятность — характеристика степени появления некоторого события при тех или иных определенных условиях.

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Так, если мы берем идеально изготовленную шестигранную игральную кость, то у нас нет оснований считать, что она на какую-то из граней будет выпадать чаще, чем на другую; более того, есть все основания для того, чтобы считать равновероятным выпадение ее на каждую из граней. Поэтому при бросании такой кости выпадение каждой из них можно ожидать с вероятностью, равной 1/6. В классической теории вероятностей мы имеем дело со случаями, когда вычисленная чисто теоретически вероятность того или иного события подтверждается в процессе опытной проверки. Такая ситуация, основывающаяся на симметричности исходов опыта, сравнительно редко встречается при исследовании реальных событий в науке и практике. Теория частотной, или статистической, вероятности, у истоков которой стояли Р. Мизес[1] и Г. Рейхенбах[2] , преодолевает указанную ограниченность классической теории.

Ключевым в частотной теории является понятие относительной частоты. Это отношение числа появлений изучаемого события в серии испытаний в данных условиях к числу всех испытаний, в которых это событие могло бы появиться при тех же условиях. Частотная теория позволяет по результатам относительной частоты изучаемых массовых случайных событий судить об их вероятности. Применение математики к изучению событий такого характера опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении испытаний в примерно равных условиях частота появления результата остается примерно одинаковой. Результат же представляет собой отношение числа опытов, в которых он имел место, к общему числу производимых опытов. Так частота попадания в цель для данного стрелка в одних и тех же условиях при значительном числе испытаний остается почти одной и той же. Процент бракованных изделий в данном ряду испытаний в одном и том же производстве при одинаковых условиях примерно один и тот же.

В последнее время разрабатывается логическая (индуктивная) теория вероятности, в которой изучается отношение между посылками и заключением в правдоподобных умозаключениях. Логическая вероятность характеризует разумную степень веры в появление некоторого события в условиях некоторой неопределенности. Логическая вероятность используется в вероятностной и индуктивной логике [4].

“Математика случая” — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль[3] .

— Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.

Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо. Вот пример.

Во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Нет возможности заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать помощь внезапно заболевшим людям. Как много в течение заданного времени будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не наблюдалось бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? Мы сталкиваемся с типичной ситуацией, в которой случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у больного, длительность проезда машины от пункта “Скорой помощи” до дома больного… (Гнеденко)

Как видим, неотложная помощь зависит от многих случайных событий. È чтобы помощь была действительно неотложной, надо уметь учитывать все эти случайности.

Можно привести и более обыденные, более примитивные, если угодно, примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в диктанте.

Теория вероятностей — математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий [5]. Рассмотрим решения нескольких простых задач этой сложной науки.

I. 1. Как п оймать случай?

Возьмите 7 одинаковых шариков от настольного тенниса. На каждом напишите номер — 1, 2, … , 7. Три из них (1, 2, 3) пометьте чернилами — это будут “черные шары”, а остальные — “белые”. Теперь возьмите мешочек или ящичек — это будет ваша “урна” — и положите в нее шары.

Начинаем опыты.

Шарики надо перемешать и вытащить один. Запишите, какого он цвета, и положите шарик обратно. Это первый опыт. Так можно делать много раз подряд. За полчаса можно провести более ста опытов.

Мы хотим предсказать, сколько раз из 100 будет вынут черный шар. Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая — может попасться черный шар, а может и белый. Но при большом числе опытов примерную долю черных шаров можно предсказать!

Каждый раз вы вынимали из урны либо первый шар, либо второй, … , либо седьмой — всего семь возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Математики говорят: все семь исходов равновозможны.

Теперь понятно, что каждый шар может появиться в 1/7 части всех опытов, и чем больше раз вы вынимаете шары, тем ближе к 1/7 доля любого из семи исходов. Конечно теоретически можно допустить, что все сто раз вы вынимаете, например, первый шар. Но это совершенно исключительный случай, но мы говорим сейчас о средних результатах.

Что же можно сказать о черном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из трех способов, в трех исходах из семи (ведь у нас три черных шара). Эти исходы называются благоприятными для появления черного шара. Итак, всех опытов — 7, благоприятных исходов — 3, следовательно, в среднем в 3/7 всех опытов вынут черный шар. И чем больше опытов, тем ближе его доля к 3/7. Это и есть вероятность появления черного шара.

Этот пример иллюстрирует формулу классической теории вероятностей:

Эта формула получена с помощью рассуждений. Но соответствуют ли рассуждения действительности? Формулу проверяли ученые на многих опытах, и всегда она получала подтверждение. Доля опытов, в которых событие осуществлялось, была близка к расчетной. Этой формулой пользуются, когда исходы опыта равновозможны и надо только вычислить вероятность.

Опытом или испытанием называют осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием. Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями — “герб” или “цифра” на верхней стороне после падения монеты. Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика, бросание игрального кубика и т. д.

I. 2. Классификация событий

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Например, если в ящике находятся только красные шары, то событие из ящика извлечен красный шар является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте. В нашем примере таковым является событие из ящика извлечен синий шар (таких шаров просто нет).

Случайным называется событие, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Если бы в урне находились красные и синие шары, то событие из ящика извлечен красный шар — случайное (ведь мы можем и не извлечь красный шар в данном испытании). Случайными событиями являются “герб” и цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании, выигрыш по билету лотереи и т. п.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. Так, при подбрасывании двух монет события A — “герб на верхней стороне первой монеты” и B — “цифра на верхней стороне второй монеты являются совместными.

Равновозможными считают события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие K (появление цифры) и событие L (появление герба) равновозможными. Такими же являются появления любой из шести граней при подбрасывании игрального кубика.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием или шансом). Например, события A1, A2, A3, A4, A5, A6 — элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Например, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы A2, A4, A6 являются благоприятствующими событию “выпало четное число очков”.

Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k; m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход означает, что на первом кубике выпало k очков, а на втором m очков. Например (3, 4) — на первом кубике 3 очка, на втором — 4 очка.

Òàáë. A

Пример 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию “на обоих кубиках выпало одинаковое число очков” при подбрасывании двух игральных кубиков.

Решение. Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (см. табл. 1): (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Пример 3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: “сумма выпавших очков равна 7”, “сумма выпавших очков равна 8”?

Решение. Событию “сумма выпавших очков равна 7” благоприятствуют 6 исходов (в табл. 1 выделены цветом). Событию “сумма выпавших очков равна 8” благоприятствует 5 исходов: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Ответ ясен.

Кстати говоря, можно предложить учащимся и другое задание: подсчитать, сколько элементарных исходов благоприятствует событиям “сумма очков на кубиках равна 2”, “сумма очков на кубиках равна 3” и т. д., и эти результаты отметить на координатной плоскости, с которой учащиеся начальных классов знакомы.

Ðèñ. A

Пример 4. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков; 6 очков?

Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1; 1; 3)[4] , (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2), (2; 2; 1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).

I. 3. Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P(A) (здесь P — первая буква французского слова probabilite — вероятность):

,

ãäå m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Пример 5. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар оказался голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем

.

Пример 6. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

Решение. Обозначим через A событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

.

Пример 7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:

,

где A — событие “число с одинаковыми цифрами”.

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой A. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 62 = 36 (см. табл. 1). Значит, искомая вероятность

.

Пример 9. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: A — “выпало 7 очков”, B — “выпало 8 очков”. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B — 5 исходов (см. табл. 1, рис. 1). Всех равновозможных элементарных исходов — 36, что видно из той же таблицы. Значит:

, .

Итак, , т. е. получить в сумме 7 очков — более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков [14, 98].

Задача 1[5] . В урне лежат 5 красных, 12 белых и 9 синих шаров. Найти вероятность того, что: а) вынут белый шар; б) вынут красный шар; в) вынут синий шар; г) вынут цветной шар.

Обсуждение. В задаче имеется 5 + 12 + 9 = 26 равновозможных исходов. Поэтому вероятности равны:

а) ; б) ; в) .

На случае г) остановимся подробнее. Наверное, цветным шаром можно назвать красный или синий шар. Вынуть цветной шар можно одним из 5 + 9 = 14 способов. Таким образом, цветной шар можно достать способами.

Задача 2 (двойное испытание). В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможно одно из трех: 1) оба шара черные, 2) оба шара белые, 3) шары различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Обсуждение. Условно черным шарам дадим номера 1, 2, 3; белым — 4, 5, 6, 7. Пары букв показывают цвет двух вынутых шаров (левая буква относится к первому выниманию, правая — ко второму). Составим таблицу.

Òàáë. B

Нетрудно подсчитать, что равновозможных исходов 49. Вероятность появления двух черных шаров равна , двух белых — , шаров разных цветов — .

Задача 3. Найдите вероятности того, что при двойном испытании как в предыдущей задаче: а) вынут по крайней мере один черный шар; б) вынут хотя бы один белый шар; в) первым вынут черный шар; г) последним вынут белый шар.

Обсуждение. Для решения воспользуемся таблицей из предыдущей задачи. Вероятности равны: а) ; б) ; в) ; г) .

I. 4. О смысле формулы вероятности события

Мы вывели эту формулу с помощью некоторых утверждений. Можно ли утверждать, что мы ее доказали, как доказывают теоремы? Нет, конечно. Мы построили модель реального явления (вынимание шаров из урны). Модель подтверждается фактами и экспериментами. А с математической точки зрения формула есть определение вероятности. И эта формула связывает модель с реальным миром.

Задача 4. Брошены независимо друг от друга две правильные игральные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях: а) меньше 9; б) больше 7; в) делится на 3; г) четна.

Обсуждение. При бросании двух костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 6´6 = 36 пар, в которых каждый элемент — целое число от 1 до 6. Составим таблицу (табл. 3), в которой слева число очков на первой кости, вверху — на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма.

Òàáë. C

Непосредственный подсчет показывает: вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна ; что эта сумма больше 7 — ; что она делится на 3: ; наконец, что она четна, .

Задача 5. В старинной индейской игре “Тонг” два игрока одновременно показывают друг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равновозможно показать 1, 2 или 3 пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев четно? Нечетно? Больше четырех? Меньше двух?

Обсуждение. Составим таблицу, в которой номер строки — число пальцев, показанных первым игроком, номер столбца — число пальцев, показанных вторым игроком, а на пересечении строки и столбца стоит общее число показанных пальцев, т. е. сумма номеров строки и столбца.

Òàáë. D

Всего имеется 9 равновозможных исходов, соответствующих девяти элементам таблицы. Общее число показанных пальцев четно в 5 исходах, нечетно — в 4, больше четырех — в 3 исходах, меньше двух — ни в одном. Вероятности равны соответственно , , , .

Задача 6. Какова вероятность того, что наудачу выбранное четырехзначное число составлено только из нечетных цифр?

Обсуждение. Всего четырехзначных чисел имеется 9000: они идут в натуральном ряду от 1000 до 9999. Так как нечетных цифр имеется 5, то на каждом из мест (разряды тысяч, сотен, десятков и единиц) может стоять любая из 5 цифр. Всего, таким образом, имеется 5´5´5´5 = 625 четырехзначных чисел, составленных только из нечетных цифр. Значит, искомая вероятность равна 625/9000 = 5/72.

Задача 7. Что вероятнее — выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из 8?

Обсуждение. Прежде всего надо ввести равновозможные исходы. Противники равносильны — это значит, что из большого числа партий примерно половина кончается победой первого, а половина — второго. Мы считаем, кроме того, что результаты нескольких партий не влияют на результаты остальных. Это соглашение дает нам возможность установить, что, скажем, в матче из четырех партий все 2´2´2´2 = 16 возможных последовательностей побед и поражений имеют одинаковую вероятность.

Рассмотрим в качестве примера большое число матчей из двух партий. Из n матчей примерно в n/2 в первой партии победит первый игрок. Поскольку результат первой партии не влияет на результат второй, то примерно в половине тех матчей, где первый игрок победил в первой партии, он проиграет во второй, всего примерно в n/2´1/2 = n/4 матчах. Аналогично события “победил в обоих партиях первый игрок”, “победил в первой партии второй игрок, а во второй — первый”, “в обоих партиях победил второй игрок” будут иметь место примерно в n/4 матчах, т. е. вероятности всех этих событий равны 1/4.

В дальнейшем в задачах мы будем сталкиваться со случаями, когда несколько опытов проводятся независимо друг от друга. Как в предыдущем образце, можно показать, что вероятность события “исход первого опыта есть A, а второго — B” равно произведению вероятностей событий “исход первого опыта есть A” и “исход второго опыта есть B”.

Вернемся к задаче. В матче из четырех партий имеется 16 равновероятных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. Событию “первый игрок победил в 3 партиях” благоприятны 4 исхода, поскольку единственное поражение может стоять на одном из четырех мест. Значит, вероятность выиграть 3 партии из 4-х у равносильного противника равна 1/4.

В матче из 8 партий имеется 28 = 256 равновозможных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. В скольких из них ровно 5 побед? Другими словами, сколько существует подмножеств из 5 элементов в множестве из 8 элементов? Комбинаторика подсказывает нам, что это есть число сочетаний из 8 элементов по 5 элементов, которое подсчитывается по формуле: . Таким образом,

.

Значит вероятность выиграть 5 партий из 8 у равносильного противника равна 56/256 = 7/32, что меньше 1/4 = 8/32 — вероятности выиграть три партии из четырех.

Задача 8. Пусть вы забыли одну цифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятность того, что вам придется сделать не более двух звонков?

Обсуждение. Вероятность того, что первый же раз вы наберете правильный номер равна 1/10 , поскольку цифр всего десять; все десять исходов — набор 1, набор 2 и т. д. — равновозможны, а благоприятным является только один из них. Если первый раз забытая цифра была набрана неправильно, то при втором звонке вы будете набирать одну из девяти оставшихся цифр, и вероятность успеха будет равна 1/9. Ровно два звонка будут сделаны с вероятностью 9/10´1/9 = 1/10. Вероятность того, что придется сделать не более двух звонков, равна 1/10 + 1/10 = 0,2.

Задача 9. Бросают три игральные кубика. Что вероятнее: сумма очков на верхних гранях равна 11 или эта сумма равна 12? Каковы вероятности этих событий?[6]

Обсуждение. Прежде всего найдем, сколькими способами можно представить 11 и 12 в виде суммы трех натуральных слагаемых, каждое из которых не превосходит 6. Будем выписывать суммы в порядке возрастания слагаемых. Начнем с 11. Если наименьшее слагаемое — 1, то 11 = 1 + 4 + 6 либо 11 = 1 + 5 + 5. Если 2, то 11 = 2 + 3 + 6 либо 11 = 2 + 4 + 5. Если 3, то 11 = 3 + 4 + 4 либо 11 = 3 + 3 + 5. Этими случаями (6) исчерпываются все представления 11 в виде суммы трех чисел, нанесенных на грани кубиков. Число 12 можно представить шестью способами: 12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4. Шевелье де Мере заключил отсюда, что 12 в качестве суммы будет встречаться столь же часто, как и 11. Однако результаты многих игр показали, что, вопреки расчетам де Мере, 11 встречается чаще. Именно тогда Мере усомнился в теории вероятностей и обратился к Паскалю за разъяснениями. Паскаль решил задачу. Оказалось, что теория вероятностей верна, а рассуждения де Мере ошибочны. Шевалье не учел, что. скажем, 4 + 4 + 4 может выпасть одним способом: на всех трех кубиках 4, а 1 + 4 + 6 — многими: на первом — 1, на втором — 4, на третьем — 6 или на первом — 6, на втором — 4, на третьем — 1 и т. д.

Найдем вероятности того, что сумма очков на верхних гранях равна 11, и того, что эта сумма равна 12. При бросании трех кубиков имеется 6´6´6 = 216 равновозможных исходов. Событие “сумма очков равна 11” может осуществиться одним из шести способов: “выпали числа 1, 4, 6”, “выпали числа 1, 5, 5” и т. д. Посчитаем, сколько для каждого из этих способов имеется благоприятных исходов. Событию “выпали 1, 4, 6” соответствуют 6 исходов, которые можно записать так: 146 (на первом кубике на верхней грани 1, на втором — 4, на третьем — 6), 164, 416, 461, 614, 641. Точно так же 6 исходов благоприятны для любого способа представления суммы в виде трех различных слагаемых. Событию “выпали 1, 5, 5” соответствует три исхода: 155, 551, 515. Всего для события “сумма очков равна 11” благоприятны 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 исходов. А событию “сумма очков равна 12” благоприятны 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 исходов, поскольку представлению 4 + 4 + 4 соответствует только один исход — 444. Итак, вероятность того, что сумма очков равна 11, есть 27/216 = 1/8, а вероятность того, что эта сумма равна 12, есть 25/216 = 1/8 - 1/108 < 1/8. Решение этой задачи показывает, как важно правильно выделить равновозможные исходы.

Задача 10. В шахматном турнире участвуют 8 игроков. Номера шести игроков распределяются по жребию. Номер определяет положение игрока в турнирной лестнице. Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Второе место занимает проигравший в финале. Какова вероятность того, займет второй по мастерству игрок?

Ðèñ. B

Обсуждение. Второй по мастерству игрок занимает второе место тогда и только тогда, когда он находится в той половине турнирной лестницы (верхней или нижней), в которой нет первого по мастерству игрока, поскольку в противном случае второй проиграет первому ранее финала. Поскольку имеется 7 ступеней турнирной лестницы (кроме ступени, занятой первым по мастерству игроком), которые может занимать второй по мастерству игрок, все эти исходы равновозможны, а 4 из них являются благоприятными для выхода в финал, то искомая вероятность равна 4/7.

Задача 11. Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором порядок состязания определяется жребием (по турнирной лестнице). Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца. Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

Обсуждение. Обозначим близнецов A и B. Если A и B входят в одну пару в турнирной лестнице, что происходит с вероятностью 1/7 (для B равновозможны 7 мест, не занятых A), то близнецы заведомо встречаются в первом же туре. Вероятность того, что B находится в соседней паре, равна 2/7. В этом случае близнецы встречаются во втором туре) только тогда, когда они оба выиграют поединки первого тура, что происходит с вероятностью 1/4. Значит, вероятность события “близнецы встречаются во втором туре” равна 2/7´1/4 = 1/14. Наконец, вероятность того, что B находится в другой половине турнирной лестницы, равна 4/7, и в этом случае вероятность встречи равна 1/4´1/4 = 1/16, поскольку оба должны победить в обоих турах; вероятность события “близнецы встречаются в финале” есть 4/7´1/16 = 1/28. Все возможности перечислены, вероятность встречи в одном из туров есть сумма вероятностей встреч в первом, втором турах и финале, т. е. 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1/4.

Задача 12. Задача о разделе ставки (вторая задача Шевалье де Мере, предложенная Паскалю). Подбрасывается монета. Первый игрок “набирает” гербы, а второй — решки. Тот, кто первым наберет три единицы, забирает ставку. Игра была прервана, когда у первого игрока имелось два герба, а у второго — одна решка. Ставка должна быть разделена пропорционально шансам на выигрыш. Как ее разделить?

Обсуждение. Полезно ввести опыт, состоящий в двукратном бросании монеты. Из четырех равновозможных исходов ГР (при первом бросании выпал герб, при втором — решка), ГГ, РГ, РР, в первых трех победа принадлежит первому игроку (в первых двух случаях в самой игре монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку.

Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы)

Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при одних и тех же условиях, а детям предлагают указать результат. Потом условия эксперимента изменяют.

Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве младших школьников с основными понятиями теории вероятностей [2, 56; 14, 98].

1. Эксперимент, помогающий подвести младших школьников к понятиям: невозможное событие, достоверное событие, а в отношении случайных событий — установить градации: более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: мешок и 9 шаров — 3 красных, 3 белых и 3 зеленых.

Описание эксперимента. Учитель обращается к ребятам:

— Вы, конечно, знаете, что Буратино очень любит кукольные спектакли, но у него часто не бывает денег, чтобы попасть в театр. Однажды продавец билетов согласился дать Буратино билет, если он верно ответит на вопрос: “В мешке имеется 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?” Помогите Буратино дать правильный ответ.

Дети будут предлагать разные значения, но им необходимо обосновать свой выбор, проводя эксперименты. В результате они должны прийти к следующим выводам:

— если вынуть 7, 8, 9 шаров, наверняка будут шары трех цветов;

— если вынуть 3, 4, 5 или 6 шаров, то возможно, но не обязательно будут шары трех цветов;

— если вынуть 1 или 2 шара, то невозможно получить шары трех цветов.

Целесообразно исследовать, в каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов — если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров. Можно ввести и термины более вероятно, менее вероятно.

2. Опыты с пятью монетами. С помощью этих экспериментов можно научить ребенка навыку выводить закономерности при проведении опытов.

Оборудование: 5 одинаковых монет.

Описание эксперимента. Учитель рассказывает детям следующую историю:

— Когда Буратино получил от Карабаса-Барабаса 5 золотых монет, он подбросил каждую монету, чтобы удостовериться, не сон ли это, и не исчезнут ли золотые. Буратино видел, что каждая монета ложилась одним из возможных способов: цифрой вверх или гербом вверх. Потом он подбросил все 5 монет сразу и подсчитал, что 2 монеты легли цифрой вверх, а 3 гербом. Буратино задумался: какие случаи еще могут получиться? Давайте поможем Буратино.

В этом и заключается задание: отметить, какие случаи возможны при бросании пяти монет. Занести данные в таблицу и заполнить ее, написав свое предположение о количестве появления каждого случая. Сравнить полученное число с результатами эксперимента, проведенного 20, 40, 60, 80 и 100 раз.

Òàáë. E

Можно сказать, что каждый из данных случаев называют событием, и выяснить, какое событие более возможно, менее возможно, есть ли среди данных событий равновозможные. После проведения эксперимента 20 раз и занесения данных в таблицу, следует ожидать более точного совпадения предполагаемого и экспериментально полученного чисел появления каждого из случаев в серии из 40 экспериментов и т. д.

3. Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями: равновозможные события, более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: два белых и один черный шар.

Описание эксперимента. В ящик или мешок кладут два белых и один черный шар. Требуется вытащить последовательно один за другим 2 шара. Учитель спрашивает детей: “Каким может быть результат такого опыта?”

Обнаруживается, что может быть 3 случая:

С помощью эксперимента необходимо выяснить, какой из этих случаев более возможен, менее возможен или, может быть, среди них имеются равновозможные случаи. Затем полученные экспериментальные выводы необходимо обосновать, рассмотрев все возможные комбинации выбора двух шаров из имеющихся трех, которые можно условно обозначить Ч, Б1, Б2.

4. Игра “Какова сумма?” Эта игра поможет подвести детей к понятию вероятности с точки зрения классического определения.

Нарисуем большой прямоугольник, 14Ч11 клеток. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Очень скоро дети догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14 не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа надо выбросить. Можно сыграть несколько партий. Дети хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив детей ответить на вопрос, сколькими способами можно получить 2, 3, 4,..., 12 очков при бросании двух игральных костей.

5. Игра “Сколько окажется на своем месте?” Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.

Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра — 5 — соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:

1) Как вы думаете, насколько редким является исход

2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте?

3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте?

4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа — событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие. При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию “выпадание четного числа” соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию “выпадание числа больше двух” соответствует подмножество из четырех элементов.

Обозначим множество элементарных событий греческой буквой (омега). Тогда можем записать:

.

Пример. Пусть событие A — выпадание на кубике четного числа; M(A) = 3. Здесь — множество всех возможных выпаданий; M() = 6. Значит, .

Пример. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент — вынимание одного шарика (M() = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M(K) = 4), желтое (M(Ж) = 3), синее (M(С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле:

.

Аналогично без труда находятся вероятности P(K) и P(Ж).

Пример. Возьмем колоду игральных карт. Элементарное событие — вытягивание карты из колоды. Всего карт 36: . Изобразим множество в виде таблицы:

Òàáë. F

Укажи меры следующих подмножеств:

– всех пиковых карт;

– всех дам;

– всех карт с картинками (валеты, короли, дамы).

Зная меры указанных подмножеств, определи вероятности вытянуть пиковую карту, вытянуть даму, вытянуть картинку.

По-видимому, для множеств с конечным числом элементов, где мера — число элементов, все ясно.

Можно было вести речь и о несчетных множеств, но нам кажется, что в начальной школе достаточно и этого материала [9, 146; 13, 236—242].

Глава III. Анализ эксперимента

Как воспринимают школьники самые простые (или более сложные) задачи, направленные на активизацию различных мыслительных операций? Возможно ли научить учащихся начальных классов решать задачи и проводить эксперименты по теории вероятностей? Развиваются ли при этом мыслительные способности?

Чтобы ответить на эти вопросы, нами был проведен в гимназии № 1 г. Слонима. В эксперименте принимали участие ученики третьих классов. Эксперимент состоял из трех частей.

Констатирующий. Были предложены простые задачи для проверки восприятия школьниками вероятностных задач.

Методический (обучающий). Предлагалась система задач с использованием элементов теории вероятностей и статистики, которые они выполняли под руководством учителя, а также были даны первоначальные представления о теории вероятностей.

Контрольный. В этой части ученики решали задачи, похожие на задания из констатирующего эксперимента, но более сложного уровня для окончательной оценки умения решать логические задачи с элементами теории вероятностей.

III.1. Констатирующий эксперимент

Предложены следующие задания.

1. Есть 5 зрелых и 4 незрелых арбуза. Сколько арбузов надо купить, чтобы среди них был хотя бы один зрелый?

2. Есть три ключа от трех замков. Они перемешались. Сколько проб достаточно, чтобы подобрать ключи к замкам?

3. В аквариуме 6 золотых рыбок и 2 незолотые рыбки. Наугад достали 3 рыбки. Какие рыбки могли достать?

4. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) хотя бы один из вынутых шариков будет красным;

б) два шарика будут разного цвета;

в) не будет ни одного красного шарика.

5. В мешочке 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность (шанс) того, что извлеченный шар окажется голубым? Сколько нужно сделать попыток, чтобы достать 1 голубой шар?

Цель констатирующего эксперимента: проверить, как ученики III класса будут воспринимать и решать эти задачи, т. е. изучить начальный уровень знаний, умений, навыков.

Вывод. Результат констатирующего эксперимента освещен в таблице.

В эксперименте принимало участие 15 человек. Нету ни одного учащегося, решившего все задачи. Основной успех достигнут при решении задач №№ 1—3. Итак, как видим, результат невысок.

Причины низких результатов:

1. Подобные задачи редко встречались в практике учащихся.

2. Предложенные задачи чаще всего решаются нетрадиционными методами.

3. Учащиеся не знакомы с элементами теории вероятностей.

III.2. Методический (обучающий) эксперимент

Цель эксперимента: познакомить учеников с элементами теории вероятностей, логическим процессами, приемами решения задач, с проведением эксперимента, вычислением вероятности по формуле. Предлагались следующие задания.

1. В ящике имеются 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика (не заглядывая в него) чтобы среди вынутых шаров оказался: а) хотя бы 1 черный; б) хотя бы 1 белый?

2. В ящике имеются 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых и 1 черный. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров было не менее двух шаров одного цвета?

Решение. Будем рассуждать следующим образом: вынув один шар, вынимаем следующий. Он может оказаться того же цвета, что и первый. Но возможно, что второй шар иного цвета, третий шар отличается по цвету от двух первых и т. д. Наихудший вариант: 4 первых шара оказались разных цветов. Тогда пятый шар составит одноцветную пару с одним из ранее вынутых.

Ответ: 5 шаров[7] .

В методическом эксперименте учащихся познакомились с понятиями теории вероятностей, приемами вычислений по формуле, учились проводить опыты. Приведем несколько из них.

1. Опыты с пятью монетами, которые Буратино получил от Карабаса-Барабаса[8] .

Велась таблица, куда заносились предположения детей об исходе опытов и данные опытов. Опыт проводился более 100 раз.

Учащиеся научились проводить эксперимент и заносить данные в таблицу, делать вывод.

2. Эксперимент с двумя белыми и одним черным шаром, где нужно было выяснить, каков может быть результат опыта, если вытаскивать один за другим 2 шара. Исходы опытов зарисовывались.

После знакомства детей с формулой, по которой вычисляется вероятность, были предложены задачи таких типов:

1. В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар окажется голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем:

.

2. В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможен один из трех исходов: либо оба шара черные, либо оба белые, либо они различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Во время эксперимента дети учились применять формулу, придумывали и свои аналогичные задачи.

III.3. Контрольный эксперимент

Цель: 1. Окончательно проверить, доступны ли первоначальные логические понятия, элементы теории вероятностей, методика решения задач на нахождение вероятности какого-либо события учащимся начальных классов. 2. Проверить умения решать вероятностные задачи после получения некоторых теоретических и практических знаний и умений.

Были предложены задачи:

1. В пакете имеются конфеты трех сортов, не различимые на ощупь. Какое наименьшее число конфет надо взять наугад из пакета, чтобы среди вынутых были хотя бы 2 конфеты одного сорта?

2. Ключи от четырех чемоданов перемешались. Нужно определить, от какого чемодана какой ключ. Сколько для этого надо сделать попыток?

3. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) будет 2 желтых шарика;

б) 3 шарика будут разного цвета.

4. В мешочке 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Найти вероятность того, что вынут черный шар (3/7), вынут белый шар (4/7).

5. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы? (9/90)

Вывод. Результат контрольного эксперимента освещен в таблице.

Правильно решенных задач — 55. Наибольшее количество решений достигнуто в задачах №№ 1, 2, 3. В этот раз решили все задачи 7 человек. Как видим, ученики 3-го класса после получения некоторых знаний и умений справились с заданиями намного лучше, чем в констатирующем эксперименте. Некоторые учащиеся решили задания на нахождение вероятности события.

Итак, результаты эксперимента подтверждают гипотезу о том, что мыслительные способности можно развивать. Многие вероятностные задачи доступны учащимся начальной школы. Этому безусловно способствует система специальных задач и упражнений, которые, как нам кажется, надо в большем количестве вводить в учебники по математике для начальной школы.

Заключение

Мы попытались показать, насколько многообразен и интересен мир задач и упражнений, как важно, начиная с начальной школы, развивать логику ребенка, его мыслительные способности, вводя даже такое сложное понятие как теория вероятностей.

Некоторые виды задач, приемлемые для начальной школы, рассматривались нами более подробно, более тщательно раскрывалась методика работы с ними. Многие задачи недоступны детям младшего школьного возраста, хотя отдельные элементы их в пропедевтическом плане можно предлагать на уроках математики и занятиях по интересам.

На основании изученной литературе и результатов эксперимента мы пришли к выводам:

1. В ныне действующих учебниках по математике (под ред. А. А. Столяра) рассмотренные выше задачи присутствуют, но в малом количестве и эпизодично.

2. Поскольку многие задачи с элементами теории вероятностей и статистики доступны детям младшего школьного возраста, интересны им и тесно связаны с программой по математике, то их необходимо включать в учебники. Они привлекают ребят и делают уроки многообразными и интересными.

3. Необходимо более тщательно разработать методику работы задач с элементами теории вероятностей и статистики.

4. Система выше рассмотренных задач и упражнений позволяет активизировать мышление детей.

5. Использование разнообразных задач с элементами теории вероятностей и статистики в курсе математики начальной школы позволяет:

развивать:

— логическое и вообще математическое мышление;

— способности к решению нестандартных задач;

— интерес к математике как науке;

уточнять математические понятия; знакомиться с новыми понятиями, создавая хорошую базу знаний для обучения в среднем и старшем звене школы;

расширять:

— круг упражнений в курсе математики начальной школы;

— круг интересов младших школьников.

Таким образом, наша гипотеза в целом подтверждается: задачи с использованием элементов теории вероятностей и статистики можно и нужно вводить в курс математики начальной школы в бульших количествах. Это детям доступно и интересно.

Давая ученикам инструмент — умение логически мыслить, проводить эксперименты, делать выводы, — позволяющий более уверенно чувствовать себя в проблемных ситуациях, в том числе и житейских, — не это ли и есть гуманизация образования?

Список литературы

1. Аргинская И. И. Обучаем по системе Занкова. М., 1991.

2. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Первые темы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. Мн., 1978.

3. Бычкова Л. О., Сенютин В. Д. Об изучении вероятности и статистики в школе //Математика в школе. 1991. № 6. С. 9—12.

4. Горский Д. П. Краткий словарь по логике. М., 1991.

5. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6—8 классах. М., 1995.

6. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. СПб, 1993.

7. Программы 12-летней общеобразовательной школы с рус. яз. обучения. Подготовительный — III кл. Мн., 1999.

8. Столяр А. А. Основы современной школьной математики. Ч. 1. Мн., 1975.

9. Тарасов Л. В. Неслучайная случайность. Ч. I. /Экспериментальный учебник развивающего типа по интегративному предмету “Закономерности окружающего мира” (VI класс). М., 1993.

10. Тихомирова А. Ф., Басов А. В. Развитие логического мышления детей. Яр., 1997.

11. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. М., 1983.

12. Эльконин Д. Б. Детская психология. М., 1960.

13. Юркевич А. В., Шербаф А. И., Жавнерко В. В. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе //Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.

14. Юркевич А. В., Шербаф А. И. Теория вероятностей в задачах. Учебное пособие. Мн., 1994.

[1] Мизес Рихард Эдлер (19.04.1883—14.07.1958) — немецкий математик и механик. Родился во Львове. Работал в Страсбургском, Берлинском, Стамбульском и Гарвардском университетах.

[2] Рейхенбах Ганс Фридрих Герберт Гюнтер (26.09.1891—09.04.1953) — немецкий философ и логик. Родился в Гамбурге. Работал в Берлинском и Калифорнийском университетах.

[3] Паскаль Блез (19.04.1623—19.08.1662) — французский математик, физик и философ. Занимался проективной геометрией, биноминальными коэффициентами, которые использовались в задачах теории вероятностей.

[4] Запись (1; 1; 3) означает, что на первом кубике выпало 1 очко, на втором — 1, на третьем — 3.

[5] Задача отличается от примера тем, что в случае необходимости ведется обсуждение поиска решения.

[6] Эту задачу знаменитый игрок в кости де Мере предложил Паскалю.

[7] При решении этой задачи можно использовать наглядный эксперимент, а данные заносить в таблицу.

[8] Эксперимент описан выше.

Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля

Саморазвитие и менеджмент

Случайное событие и его вероятность

Курс лекций по теории вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика

Серьёзные лекции по высшей экономической математике

Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

Основы теории вероятности

Теория вероятности и мат статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей

Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике

Вероятность и правдоподобные рассуждения

О теории вероятностей

Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

Схема Бернулли. Цепи Маркова