Реферат: Три кризиса в развитии математики

РЕЦЕНЗИЯ

на дипломную работу студента V курса
физико-математического факультета АГПИ

Большакова А. А. на тему:
“Три кризиса в развитии математики”

Развитие математики не однажды приводило в прошлом к необходимости осмысления и перестройки её основ. Дипломная работа Большакова А. А. посвящена обзору трех периодов интенсивных поисков путей преодоления накопившихся внутренних противоречий: античный период, период обоснования анализа и теоретико-множественный период.

В работе приводится много интересных исторических сведений. Показаны непростые пути формирования некоторых основных математических понятий.

Автор показывает глубокое проникновение в тему и хорошее владение материалом. Дипломная работа Большакова А. А. заслуживает высокой оценки.

Заведующий кафедрой

математического анализа,

кандидат физико-математических
наук

Захаров С. А.

Министерство образования Российской Федерации

Астраханский педагогический институт им. С. М. Кирова

Три кризиса
в развитии математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

студента физико-математического
факультета

Научный руководитель
Ованесов Н. Г.

Астрахань · 96

Оглавление

Введение

I. Способы обоснования математики в древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

2. Проблема бесконечности в древнегреческой философии и математике

3. Три знаменитых задачи древности

4. Преодоление кризиса основ древнегреческой математики

II. Способы обоснования математики в XVIII и в первой половине XIX века

1. Особенности способов обоснования математики в конце XVII и в XVIII веке

2. Разработка способов обоснования математики в последней четверти XVIII и первой половине XIX века

III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX века

1. Теория множеств. Основные понятия учения о множествах Г. Кантора

2. Трудности построения теории множеств. Критика концепции Г. Кантора

3. Парадоксы (антиномии) теории множеств

4. Аксиоматические построения теории множеств по Цермело

5. Проблема существования в математике

Список литературы.

Введение

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. Эти трудности роста математики — трудности её обоснования: они были, есть и будут в дальнейшем.

Трудности обоснования математики играют наиболее значительную роль в развитии математики тогда, когда возникает необходимость в коренной переработке основ и методологии всех (или достаточно большого числа) математических теорий. В этих случаях говорят о кризисе основ математики. Известны три таких кризиса.

Впервые кризис основ наук возник в математике в древней Греции, в начале её формирования как научной системы. Второй имел место в конце XVII и в XVIII веке. Третий возник в конце XIX века, он не преодолен и в наше время и оказывает влияние на развитие современной математики.

Мы рассмотрим сущность этих кризисов математики, имея в виду преимущественно подтверждение выводов, сделанных ранее о закономерностях развития математики как теории.

I. Способы обоснования математики в
древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571–479 гг. до н. э.).

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию — открытие новых математических фактов. По форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о паралельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). По видимому, они установили, что если число 2^п –1 является простым, то число 2^п–1 ´(2^п –1) — совершенное. Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.

Рис. 1

Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного (рис. 1).

Пусть, действительно, диагональ АВ соизмерима со стороной АС квадрата АСВД .

Тогда , где р и q — натуральные числа. Дробь можно считать несократимой (иначе её можно было бы сократить); значит, р или q будет числом нечетным.

Примем АС =1. По теореме Пифагора должно быть:

;

Значит

т. е. р ² делится нацело на 2; следовательно и р также делится нацело на 2:

р=2р ₁ ,

где р ₁ — некоторое натуральное число.

Аналогично получаем:

q=2q ₁ ,

где q ₁ также некоторое натуральное число.

Итак, р и q — оба четные числа. Поскольку р или q — число нечетное, выходит, что четное число равно нечетному числу. В конце V века до н. э. Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением. Он показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6, …, 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Пифагор учил, что сущность всех вещей есть число; число — сами вещи; гармония чисел — гармония самих вещей. Аристотель говорил, что у пифагорейцев числа принимались за начало и в качестве материи и в качестве [выражения для] их состояния и свойств.

Открытие несоизмеримых величин сначала “вызвало удивление” (Аристотель). Это естественно: до открытия Пифагора древнегреческие математики считали, что любые два отрезка имеют общую меру, хотя, может быть, и очень малую. Когда, однако, пифагорейцы убедились, что доказательство существования несоизмеримых величин безупречно, они поняли, что их философия оказалась в затруднительном положении.

Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое “выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримых отрезков знаменовало поэтому начало кризиса пифагорейской философии и методологических основ развиваемой ими системы математики. После обнаружения существования несоизмеримых величин перед пифагорейцами открылись две возможности. Можно было попытаться расширить понятие числа за счет присоединения к рациональным числам чисел иррациональных, охарактеризовать несоизмеримые величины числами иной природы и таким образом восстановить силу философского принципа “все есть число”.

Однако, этот путь столь естественный и простой с современной точки зрения, для пифагорейцев был закрыт. В этом случае надо было построить достаточно строгую арифметическую теорию действительных чисел, что при уровне пифагорейской математики было делом невыполнимым. Поэтому надо было идти по другому пути — по пути определенного пересмотра исходных принципов, например принять, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем дробные и целые числа, и пытаться строить всю математику не на арифметической, а на геометрической основе. Именно этот второй путь и избрали пифагорейцы, а вслед за ними большинство древнегреческих математиков, вплоть до Архимеда и Аполлония.

2. Проблема бесконечности в
древнегреческой философии и математике

В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610–546 гг. до н. э.), переемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н. э. — расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи — это и есть бесконечность.

Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксигора (около 500–428 гг. до н. э.). В сочинении “О природе” Анаксигор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

Бесконечность для Анаксогора — потенциальная; она существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин — величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

Демокрит (около 560–570 гг. до н. э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

Поскольку каждый роговидный угол “меньше” любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие актуальной бесконечности.

Аристотель (384–322 гг. до н. э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике. Математики считали, что “целое больше любой своей части” и, тем самым, по существу, исключали актуальную бесконечность. Философы (Аристотель, например) доказывали противоречивость понятия актуальной бесконечности и тем самым поддерживали математиков.

Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (около 490–430 гг. до н. э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение — это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени дошло только 9. Вот наиболее характерные из них.

Против движения.

“Дихотомия”. Движения нет, потому что то, что движется, должно дойти до середины, прежде чем оно дойдет до конца. Но если бы тело дошло до середины, оно должно было бы раньше дойти до середины этой середины и т. д. до бесконечности, а это невозможно. Таким образом движение не может начаться.

“Ахиллес и черепаха”. Медленный в беге никогда не будет перегнан быстрым, потому что тот, кто преследует, должен сначала достичь точки, из которой начал убегающий, так что убегающий всегда будет на некотором расстоянии впереди.

Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В. И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.

Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции.

3. Три знаменитых задачи древности

В развитии содержания и способов обоснования математики древней Греции выдающуюся роль сыграли три задачи: трисекция угла, удвоение куба (делийская задача) и квадратура круга.

Пробуждение особого интереса к этим задачам именно в древней Греции не случайно. При построении математики как дедуктивной системы, базирующейся на геометрическом фундаменте две первые задачи появляются как естественные обобщения более элементарных задач. Задача о квадратуре круга была получена “по наследству” от древних египтян и вавилонян.

Трисекция угла. Дан РАВС , требуется разделить его на три равные части. Формулировка задачи относится к любому углу и является обобщением задачи о делении данного угла на две равные части.

Рис. 2

Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба. Построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Если сторона данного квадрата а , а искомого х , то х ² =2а ² ; . Следовательно, сторона искомого квадрата равна диагонали данного. Отсюда осуществимость построения циркулем и линейкой искомого квадрата AA`CC` (рис. 2).

Вполне естественно было перейти от этой задачи на плоскости к соответствующей задачи в пространстве: построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

Квадратура круга. Построить квадрат, по площади равный данному кругу.

Ни одна из указанных задач не разрешима циркулем и линейкой.

4. Преодоление кризиса основ
древнегреческой математики

Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей.

Евдопс развил общую теорию пропорций — геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел — и разработал метод исчерпывания — зачаточную форму теории пределов, основанную на геометрической базе. Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин.

Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.

Рассмотрение трех знаменитых задач привело древнегреческих ученых к убеждению, что решение геометрической задачи может считаться выполненным строго геометрически лишь при условии использования только (идеальных) циркуля и линейки. Использование механических средств в геометрии не допускается.

Только после основополагающих работ пифагорейцев, Теэтета, Евдокса и других математиков, после соглашения о необходимых ограничениях и допустимых средствах построения, Евклид написал “Начала ”, посвященные основам и методам древнегреческой математики. В “Началах ” Евклида кризис основ древнегреческой математики был преодолен — конечно, для своего времени, и, добавим, преодолен не во всех пунктах и не всегда совершенным образом.

II. Способы обоснования математики в
XVIII и в первой половине XIX века

1. Особенности способов обоснования
математики в конце XVII и в XVIII веке

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики. Значительные результаты были получены в алгебре и теории чисел. А. Эйлер, а вслед за ним и некоторые другие ученые второй половины XVIII века проделали большую работу по систематизации содержания математических дисциплин, в первую очередь математического анализа, а вместе с ним алгебры и тригонометрии.

Вместе с тем, в рассматриваемый период способы обоснования математических теорий — особенно дифференциального исчисления — резко отставали от бурно развивающегося содержания математики. Это отставание проявилось в различных, между собой связанных формах и притом своеобразно в отдельных математических теориях.

Общей чертой попыток обоснования математики с конца XVII и планомерно до последней четверти XVIII века было стремление обосновать каждую математическую теорию в полном соответствии с истинами элементарной, “низшей” (по терминологии Ф. Энгельса) математики, т. е. элементарной математики, какой она была примерно до открытия аналитической геометрии . Это стремление проявилось в двух формах. Сначала математики пытались воздвигнуть развиваемые ими математические теории на фундаменте, построенном в свое время для обоснования “низшей” математики. Это хорошо показывают господствовавшие в то время способы обоснования алгебры и учения о числе. Если же такое построение явно не удавалось (что было особенно ясно в отношении дифференциального исчисления с момента его возникновения), то старались обосновать математическую теорию на принципах, специально для неё разработанных, содержание которых можно максимально согласовать, “примирить” (Энгельс) с истинами “низшей” математики.

Иначе говоря, в обоих случаях принципы и утверждения “низшей” математики метафизически абсолютизировались , рассматривались как незыблемый фундамент каждой математической теории.

В конце XVII и особенно в первых трех четвертях XVIII века основные понятия и законы, установленные в одной математической теории часто переносились в новые области исследования, совершенно формально, т. е. без обоснования .

Законы алгебры и математического анализа формировались без указания переменных, для которых они справедливы, и без указания границ их применимости. Такая трактовка законов алгебры и математического анализа, естественно, распространялась и на основывающиеся на них алгоритмы.

К середине XVIII века описанная трактовка законов математического анализа и алгебры стала настолько общепринятой, что Л. Эйлер счел возможным истолковать её как основной принцип методологии анализа вообще. Случилось это при следующих обстоятельствах.

В начале XVIII века между Лейбницем и И. Бернулли возник спор о “природе” логарифмов отрицательных чисел. И. Бернулли полагал, что при х >0, ln (–x )=ln x , так как .

Лейбниц не согласился с И. Бернулли; он утверждал, что отрицательное число имеет бесчисленное множество логарифмов, причем все они — числа комплексные. Среди других своих аргументов Лейбниц указал, что правило дифференцирования ln x , установленное для х >0, не обязательно должно быть справедливым и для ln (–x ).

При помощи особой аргументации Л. Эйлер решил спор в пользу Лейбница. Однако указанный аргумент Лейбница Эйлер решительно отклонил. “Это возражение,— указывал Эйлер,— если бы оно было верно, поколебало бы основное положение всего анализа, заключающееся, в основных чертах, в общности правил и операций, признаваемых справедливыми, какова бы ни была природа количеств, к которым они прилагаются”.

Как мы видим, подход математиков в XVIII веке к выяснению границ приложимости методов математики и трактовка её принципов были явно метафизическими.

В XVIII веке доказательство теорем математического анализа нередко проводили, опираясь на господствовавшие тогда механические и геометрические представления. Начало широкому использованию механических представлений как базы математического анализа положил Ньютон в своем учении о флюентах и флюксиях. Что же касается указанного использования геометрических представлений, то проще всего выяснить суть дела на следующем примере.

В наше время теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение доказывается в классическом математическом анализе чисто аналитически с использованием понятия бесконечного множества. В XVIII веке если эта теорема и доказывалась, то чаще всего указанием на то, что непрерывная кривая f(x) , соединяющая точки А и В , расположенные в плоскости по разные стороны оси ОХ , существует по меньшей мере одна точка с абсциссой х=с , a<c<b , для которой f(с)= 0 (рис. 3).

Рис. 3

Подобного рода геометризация нередко встречалась в руководствах по алгебре и арифметике.

Например, доказательство закона переместительности ab=ba , якобы верного для любых чисел и величин, обычно сводили на два равных, но различно расположенных прямоугольника (рис. 4).

Рис. 4

Эйлер и другие математики XVIII века задавали функцию одним аналитическим выражением и от этого аналитического выражения её не отделяли. При этом, под аналитическим выражением, вообще говоря, понималось выражение, которое можно получить, связывая элементарные функции (алгебраические и некоторые трансцендентальные, одного или нескольких аргументов) посредством сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, решения алгебраических уравнений и интегрирования. Считали, что задание функции на любом промежутке определяет её поведение на всей оси ОХ . Соответственно функция представлялась кривой, части которой зависят друг от друга и которую можно задать одним аналитическим выражением указанного вида. Такие функции считали непрерывными (в смысле Эйлера), назывались правильными. Представленная на чертеже (рис. 5) непрерывная в современном смысле функция у=|х| в смысле Эйлера не была непрерывной. Действительно, если использовать запас функций, с каким работали в XVIII веке, то эта функция должна быть задана двумя формулами:

f(x)=x, 0 £x;

f(x)=–x, x £0.

Рис. 5

Вместе с другими математиками XVIII века Эйлер считал, что такое толкование функции и её непрерывности достаточны для интегрального и дифференциального исчисления и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но вопреки им он полагал возможным рассматривать в теории уравнений с частными производными и функции, задание которых на отрезке не определяет их поведения в целом, т. е. в его терминах произвольные функции. Эйлер трактовал непрерывность таких функций в современном смысле и называл их связными. К такому расширению понятия функции Эйлер пришел в связи с анализом результатов исследований (своих и других математиков) о колеблющихся струнах.

Рассматривая только непрерывное и монотонное изменение переменных — в то время так поступали в механике и геометрии,— Ньютон, Даламбер и некоторые математики XVIII века толковали предел только как то, что порождается переменной, фактически как последнее значение переменной или как последнее отношение переменных. Вопрос, достигает ли переменная этого своего последнего значения, или может подойти к нему как угодно близко, никакой роли не играет. В практике математического анализа предел действительно извлекался из переменной как её последнее значение, которое она принимает или может принять. В конце XVIII века Лазар Карно называет пределом последнее значение переменной, которая к нему приближается. Даже в 40-х годах прошлого столетия В. В. Буниковский считал задачей дифференциального исчисления “уловить отношения изменяющихся по известному закону величин в то самое мгновение, когда эти величины исчезают ”, т. е. уловить последнее значение отношения переменных. Как мы увидим эта узкая (но выдаваемая за всеобщую) трактовка понятия предела сыграла особо важную роль в развертывании трудностей обоснования математического анализа в XVIII и начале XIX века.

Математики XVII–XVIII веков полагали также, что любая непрерывная функция f(x) в каждой точке, за исключением, быть может, их конечного числа имеет производную f`(x) . Для доказательства этого заключения часто полагали возможным представить непрерывную функцию кривой, которая, вообще говоря, в каждой точке имеет касательную.

В первой половине XVIII века понятие числа определялось чаще всего по Евклиду: число есть совокупность единиц. Во второй половине XVIII века число истолковывается преимущественно как результат измерения одной величины другой величиной того же рода, принятой за единицу. Но даже последнее, значительно более широкое, истолкование понятия числа не охватывало все в то время известные виды чисел. Достаточно вспомнить, что в XVII–XVIII веках математики знали и с успехом использовали понятие комплексного числа. Поэтому, наряду с понятием числа, прибегали к прибегали к понятиям о положительных и отрицательных величинах, о мнимых величинах, о величинах реальных и ложных и т. п.

Алгебра трактовалась как наука, изучающая только общие свойства обычных арифметических и геометрических величин.

Полагали, что каждая геометрическая теория — тригонометрия, аналитическая геометрия и т. п. — является только надстройкой над геометрией Евклида и поэтому должна строиться на фундаменте последней.

Когда описанные выше истолкования основных понятий, принципов и методов математики получили достаточно широкое распространение, в математических теориях начали обнаруживаться парадоксы; в некоторых случаях даже приходили к ложным заключениям, которые, однако, считали истинными.

Парадоксы (и ложные заключения) обнаружились впервые в XVI–XVII веках в учении о числе. Они сохранили свою силу и в XVIII веке. Основой их было то, что почти до конца XVIII века большинство математиков пытались построить учение о числе (вплоть до арифметики комплексных чисел!) на фундаменте, в свое время разработанном для арифметики количественных натуральных чисел. Обычные, верные для количественных натуральных чисел, определения арифметических действий и все пять законов счета заранее при этом считались справедливыми в каждой области чисел. В связи с этим находятся характерные для второй половины XVII и XVIII века “доказательства” правила знаков (–a)(–b)=+ab; сомнения в истинности пропорции +1: –1= –1: +1 (“как большее, деленное на меньшее, может быть равно меньшему, деленному на большее?”); отрицание объективности понятия комплексного числа и т. п.

Однако, до начала XIX века трудности обоснования учения о числе не мешали успешному использованию понятия числа в математике, точных науках и технике. Это имело основанием то, что в любой области чисел, от натуральных до комплексных, все пять законов счета выполняются. Кроме того, в этот период в математике ведущее положение принадлежало математическому анализу. Поэтому вопросы обоснования учения о числе хотя и обсуждались активно, но в деле разработки основ математики играли второстепенную роль.

Ученые и философы обратили серьезное внимание на трудности обоснования математики лишь тогда, когда Лейбниц и Ньютон развили дифференциальное и интегральное исчисление.

Лейбниц и его последователи — братья Бернулли, Лопинталь и другие — трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин , как тогда говорили — “реальных” величин. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин : если А — конечная величина, а a — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+ a=А .

Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения.

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятии предела. Но ему не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип отбрасывания бесконечно малых.

К. Маркс называл дифференциальное исчисление Лейбница–Ньютона мистическим . Этим он хотел в первую очередь подчеркнуть, что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые метафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их специфических свойств.

Парадоксы возникли и в теории рядов. Например, в XVIII веке полагали, что “сумма ряда”

равна 0, так как

Много споров вызвал вопрос о “сумме” ряда

1–1+1–1…

поскольку, как говорили, “с одной стороны,

(1–1)+(1–1)…=0,

а с другой —

1–(1–1)-(1–1)…=1”.

Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых и теорию рядов также путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.

В XVII–XVIII веках получил развитие и другой подход к “согласованию” новых истин математики с “вечными” истинами “низшей” математики. Когда понятия математической теории резко отличались от рассматриваемых в “низшей” математике, они объявлялись “воображаемыми” и рассматривались как вспомогательные функции, необходимые для изучения свойств обычных конечных величин. Крупнейшие математики XVIII века неоднократно пытались доказать, что понятие комплексного числа не допускает никакого реального истолкования. Такие же попытки принимались и в отношении понятия бесконечно малой величины. Но и на этом пути установить единство мнений не удалось. В это время, каждая задача, относящаяся к величинам, изучаемым в механике, астрономии, технике и т. п., если и допускало решение, то обычно последнее выражалось при помощи действительных чисел (действительных корней); комплексные числа (комплексные корни) указывали на невозможность её решения. В конце XVII и в XVIII веке только несколько математиков — Валлис, Кюн, в конце жизни Эйлер — считали понятие комплексного числа допускающим реальное истолкование. В конце XVIII века Вессель разработал полное геометрическое истолкование арифметики комплексных чисел. По основным свойством, важным для алгоритмов алгебры и анализа, комплексные числа не отличаются от чисел действительных. Представлялась возможность объявить комплексные числа “воображаемыми” и, обойдя вопросы обоснования их арифметики, оставить их в математике в качестве “полезных вспомогательных функций”. Напротив, трактовка бесконечно малых как “полезных функций” широкого распространения не получила: математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy .

2. Разработка способов обоснования
математики в последней четверти XVIII
и первой половине XIX века

Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века — Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

где F^` (x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной первообразной подынтегральной функции, вторая — потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).

Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства.

К началу XVIII века были установлены правила дифференцирования всех элементарных функций и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления.

Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало.

Лейбницево истолкование обычного определенного интеграла существенно опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Факт этот хорошо подтверждался тем, как Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Эйлер не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм. Но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог. В этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, т. е., с точки зрения Эйлера, были нулями.

Конечно, и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века.

С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).

Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл — при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть — обобщить, развить традиционное (эйлерово) толкование функции и понятия предела.

Изучение функций показало, что формула, представляющая функцию, и функция, ею представляемая — это не одно и то же. Формула является орудием одного из способов (аналитического) представления функции. Например, функция f(x)=|x| может быть задана на промежутке (–p; +p) двумя формулами: у=х, у=–х ; вместе с тем она может быть задана и одним аналитическим выражением, а именно — сходящимся к ней тригонометрическим рядом.

В пользу этого заключения говорили и иные соображения. “Новейшие исследования показали,— Писал Риман,— что существуют такие аналитические выражения (тригонометрические ряды), с помощью которых можно в заданном промежутке представить любую непрерывную функцию. Таким образом, не является существенным, будет ли зависимость величины w от величины z задана произвольно или с помощью математической формулы.”

По-новому был поставлен вопрос о непрерывности и точках разрыва функции. Эйлерово понятие непрерывности было оставлено, как не отвечающее общему понятию функции. Больцано, Коши, Лобачевский, а вслед за ними и другие математики выдвигают на первое место определение непрерывности функции “на языке e и d”.

“Согласно правильному объяснению,— указывал Больцано,— понимают под выражением, что функция f(x) изменяется по закону непрерывности для всех значений х , которые лежат внутри или вне известных границ; лишь то, что, если х — какое-нибудь из этих значений, тогда разность f(x+w)–f(x) может быть сделана меньше, чем любая заданная величина, если можно принять w столь малым, сколько мы хотим”.

Коши писал: f(x) непрерывна для заданного значения х , когда “бесконечно малое приращение переменной производит бесконечно малые приращения самой функции”.

Сначала точки разрыва функции определялись чисто отрицательно. Коши писал: “Когда f(x) перестает быть непрерывно в сопредельности частного значения переменной х , то говорят, что она делается прерывною и что для этого частного значения происходит разрыв непрерывности ”.

Во второй четверти XIX века точки разрыва функции f(x) изучали Пуассон, Либри и др. В своих математических мемуарах Либри писал, что впервые разрывные функции сделались предметом исследований в работах Даниила Бернулли, Эйлера и Даламбера. Однако, подчеркнул он, только исследования Фурье, Пуассона и других математиков о разрывных функциях рассеяли все сомнения, которые все ещё связывались с природой этих функций. Точное различие между точками разрыва первого и второго ряда и, соответственно этому, их прямые определения вошли в практику математических исследований во второй половине XIX века.

Наконец, в связи со всем этим выяснилось, что не каждая функция является вместе с тем и дифференцируемой. Первый пример непрерывной функции, не имеющей производной в каждой точке, дал Больцано, однако его пример в свое время остался математикам неизвестным.

Во второй половине XIX века пример такого рода функции построил Бейерштрасс. Лобачевский дал точные определения непрерывности и дифференцируемости функции и подчеркнул различия между этими понятиями.

Таким образом, можно сказать, что в первой четверти XIX века классический анализ становится наукой о всех возможных видах функций действительного переменного в их общем виде . Коренному изменению подвергся не только объект математического анализа; произошло коренное изменение и в методах изучения функций.

Как уже указывалось, развитие понятия интеграла и разработка техники его вычисления показали, что определенный интеграл (двойной, тройной интегралы по поверхности, несобственные интегралы) необходимо обосновывать самостоятельно, независимо от понятия неопределенного интеграла. В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. “Между многими понятиями,— указывал Коши,— тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.

Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых — это делали и раньше!— но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши.

Изучение разрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке . Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или мистически актуально бесконечно малые; бесконечно малая — это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан .

Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу.

Как справедливо отметил Н. Н. Лузин, это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

Что позволило Коши сделать это исключительно важный шаг? Ответ, конечно, надо искать прежде всего в своеобразии тех предельных процессов, с которыми приходилось встречаться в конце XVIII и начале XIX века в точных науках, особенно в математической физике. В математическом анализе к числу таких процессов надо в первую очередь отнести отыскание пределов различного вида интегральных сумм и нахождение сумм функциональных рядов, особенно тригонометрических.

Выполненные Коши обобщения теории пределов Ньютона-Даламбера позволили ему дать понятию бесконечно малого реальное истолкование и подвести под алгоритм Лейбница-Ньютона достаточный научный фундамент . Благодаря этому Коши смог подвести научный фундамент под учение о непрерывности и разрывах функций, обосновать дифференциальное исчисление и, что особенно важно, развить начала научной концепции определенного интеграла.

В процессе таких исследований Больцано, Коши, Лобачевский, Дирихле, а вслед за ними другие передовые математики первой половины XIX века по-новому подошли к истолкованию строгости математических доказательств, в первую очередь доказательств утверждений математического анализа.

Теорема существования (критерии существования предела переменной) оказались существенно необходимыми и для обобщенной теории пределов.

Если переменная изменяется непрерывно и монотонно, то принимаемое ею множество значений есть интервал, а предел — его правая или левая точка. Как говорил Н. Н. Лузин, в этом случае предел является “оптическим”: он виден глазом. Если же снять эти ограничения, допустить прерывное и, главное, колеблющееся приближение переменной к её пределу, то, вообще говоря, предел теряется; он “глубоко спрятан среди значений, принимаемых переменной”. В связи с этим возникает вопрос: при выполнении каких условий переменная имеет предел? Известно, что и этот вопрос полностью решил Коши. Он доказал, что последовательность х ₁ , х ₂ ,…, х_п ,… имеет предел тогда и только тогда, когда для всякого положительного e, как угодно малого, можно найти такое натуральное число п , что для любого натурального числа т

|x_n+m –x_n | <e.

Эта теорема в классическом математическом анализе играет фундаментальную роль.

Когда стали разрабатывать новую теорию пределов, понятие ряда, ранее не расчленяемое на ряды сходящиеся и несходящиеся, получило по этим признакам основное подразделение. Благодаря этому удалось установить точное понятие суммы ряда и направить по правильному пути разработку теории числовых и степенных рядов. В дальнейшем, в связи с разработкой проблем теории тригонометрических рядов, было установлено, что сходящиеся числовые ряды распадаются на два вида — абсолютно и условно сходящиеся ряды (Дирихле, Риман). По основным свойствам абсолютно сходящиеся ряды сходны с конечными суммами; их можно перемножать и переставлять в них члены. Условно сходящиеся ряды существенно отличаются от них; Риман доказал, что в любом, условно сходящемся ряде можно так переставить его члены, что вновь полученный ряд будет иметь суммой наперед заданное число; можно также добиться того, чтобы новый ряд оказался расходящимся. Следовательно, алгоритмы, основанные на свойстве конечных сумм, можно относить только к абсолютно сходящимся рядам. К первой четверти XIX века относится открытие Коши функции , для которой можно составить ряд Маклорена, сходящийся при всяком х , но который сходится всюду к нулю, а не к этой функции.

Тем самым была доказана ошибочность исходного положения Лагранжа, сделанного им при попытке обосновать дифференциальное исчисление на базе теории степенных рядов. Особую роль сыграли исследования по тригонометрическим рядам (Дирихле, Риман, Лобачевский и др.). Благодаря им начала создаваться общая теория функциональных рядов, включившая теорию степенных рядов как частный случай.

Такого рода факты заставили математиков отказаться от необоснованного, часто формального перенесения основных понятий и свойств конечных сумм на все бесконечные ряды и помогли им разработать научные принципы теории рядов, базирующиеся на теории пределов.

Эти же факты помогли математикам первой половины XIX века понять, почему математики XVIII века не смогли сделать в теории рядов то, что удалось сделать им. Так, сопоставив свойства абсолютно и условно сходящихся рядов, Риман заметил:

“Только к рядам первого класса применимы законы конечных сумм; только эти ряды могут быть в подлинном смысле рассматриваемы как сумма всех своих членов; о рядах же второго класса того же сказать нельзя,— обстоятельство, упущенное из вида математиками прошлого столетия, вероятно, по той причине, что ряды, расположенные по возрастающим степеням переменной, вообще говоря (т. е. для всех значений переменной, кроме некоторых отдельных), принадлежат к первому классу.”

Описанный выше процесс изменения содержания и коренного преобразования методологии математического анализа и теории рядов в общих чертах был присущ большинству математических дисциплин первой половины XIX века. В связи с этим с первой половины XIX века создается, а во второй получает всеобщее признание новый идеал строгого обоснования математической теории, сводящийся к трем требованиям:

не считать невозможным то, что кажется парадоксальным.

Гаусс писал: “Мы не можем смешивать то, что нам кажется неестественным, с тем, что нам кажется абсолютно невозможным”.

изучать все возможности, какие представляет предмет исследования и соответственно этому развивать общие теории.

В первой половине XIX века этот принцип становится руководящим началом исследований почти всех ведущих математиков.

прежде чем задаваться вопросом о зависимости, существование которой остаётся неизвестным, следует поставить вопрос, возможна ли в действительности такая зависимость.

(Абель)

Во второй четверти XIX века обычные комплексные числа нашли широкое применение в теории функций и даже в теории чисел. В тоже время разработка проблем п -мерной геометрии и методов математической физики потребовала дальнейшего обобщения понятия числа, перехода к нового вида комплексным числам с п основными единицами. Комплексные и гиперкомплексные числа стали представителями исследуемых реальных величин — векторов в пространстве R_n ; ответ на задачу, выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в этой области объективный смысл. Объявлять комплексные (и гиперкомплексные) числа “ложными”, “воображаемыми”, “мнимыми”, как это делали математики XVII–XVIII веков, стало невозможным.

Арифметика комплексных и гиперкомплексных чисел показала далее, что переход к новой, более широкой области чисел связан, во-первых, с необходимостью обобщать определения действий, данных для исходной области чисел и, во-вторых, сопровождается потерей некоторых свойств, присущих числам исходной области чисел. При переходе от действительных к комплексным числам пришлось отказаться от связывания их знаками >, <. В арифметике кватернионов стало необходимым дополнительно отказаться и от закона переместительности умножения. Законы счета — исторически самые стойкие, а поэтому в понимании математиков XVII–XVIII веков составляющие основу “неизменной сущности” понятия числа оказались законами с ограниченной областью действия .

Метафизическое разделение чисел на “реальные” и “воображаемые”, требование строить учение о числах на обычных определениях арифметических действий, чисто формальное подведение новых чисел под все законы чисел известных — все это оказалось окончательно дискредитированным.

Эти факты (с учетом общих тенденций развития способов обоснования математики) показали, что для обоснования арифметики какого угодно вида чисел, объективность которых уже доказана, достаточно перечислить её основные понятия, определения и посылки, выяснить, какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел, а все остальные её утверждения получить в результате дедукций. На этом пути удалось обосновать арифметики целых, рациональных, комплексных и гиперкомплексных чисел. Арифметика натуральных и арифметика действительных чисел получила реальное обоснование во второй половине XIX века.

В тесной связи с обобщением понятия числа и с новыми способами обоснования учения о числе находится возникновение исходных идей “формальной” алгебры. Этими идеями математика обязана Пикоку, Гамильтону, А. де Моргану, Грегори и Ганкелю.

В геометрии были сделаны открытия, имеющие для её оснований фундаментальное значение.

Лобачевский и Бойли открыли неевклидову геометрию. Понселе разработал проективную геометрию, Грассман — геометрию п -мерных пространств. Принципы этих геометрических теорий существенно отличаются от посылок “Начал” Евклида.

Однако, в первой половине XIX века неевклидова геометрия признания не получила. Проективная геометрия была разработана Понселе как надстройка над геометрией Евклида; её более общее содержание и специфика её принципов были осознаны во второй половине XIX века. Г. Грассман развил свое учение на рубеже середины XIX века. Благодаря этому указанные выводы получили впоследствии широкое признание.

Вот ещё один результат, имеющий фундаментальное значение для обоснования математики. Математики XVII–XVIII веков пытались доказать, что всякое уравнение пятой степени разрешимо в радикалах. В 1827 году Абель доказал, что это невозможно. Поскольку все же существуют уравнения пятой, шестой и других степеней, разрешаемые в радикалах, естественно возникал вопрос: как охарактеризовать класс уравнений данной степени, которые допускают решение в радикалах? Этот вопрос имел и практическое значение. Как показали Эйлер и Даламбер, интегрирование линейных дифференциальных уравнений п -гопорядка с постоянными коэффициентами сводится к нахождению корней алгебраического уравнения п -й степени. Такие дифференциальные уравнения являются математическим аппаратом теории колебаний. Чтобы решить указанный выше вопрос, Э. Галуа построил особый математический аппарат, в котором главная роль отводится понятию группы. Выяснилось, что под понятие группы подходят различные области объектов, благодаря чему оно находит плодотворное применение в различных математических дисциплинах. Оказалось также, что понятие группы обнаруживает свою действенность наилучшим образом, когда его теория обосновывается абстрактно, независимо от описания природы объектов, отношения которых ею описываются. Впервые все эти факты отчетливо осознал и описал Кэли в 1854 году; этот год поэтому считают годом начала абстрактной теории групп.

Под влиянием всех этих фактов в первой половине XIX века предпринимаются попытки расширить традиционное определение предмета математики как науки только о величинах и их измерении. Например, для Пуансо математика — это наука о свойствах чисел, величинах и порядке. Больцано и Грассман считали, что традиционная трактовка о предмете математики не охватывает её содержания в целом: например, оно не приложимо к учению о сочетаниях. Для Грассмана математика — учение о формах, однако геометрия к математике не принадлежит. В 1854 году Дж. Буль подчеркивал, что “в природе математики не заложена необходимость заниматься идеями числа и величины”.

Итак, разработанные в первой половине XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам перестроить математический анализ, алгебру, учение о числе и отчасти геометрию в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.

III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX века

1. Теория множеств. Основные понятия
учения о множествах Г. Кантора

Для чего математики последних десятилетий XIX века потребовалось общее учение о множествах, органически связанных с понятием актуальной бесконечности? Г. Кантор ответил на этот вопрос так: “…для обоснования арифметики действительных чисел, для доказательства фундаментальных теорем математического анализа и теории тригонометрических рядов”. Г. Кантор указывал также, что идеи и методы общего учения о множествах являются действенными орудиями отыскания новых математических фактов и развития новых математических теорий. В этой связи он счел возможным утверждать, что для математики понятие актуальной бесконечности существенно необходимо.

Основным понятием общего учения о множествах Г. Кантора является понятие бесконечного множества (понятие актуальной бесконечности ). “Под многообразием, или множеством,— писал Г. Кантор,— я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона.”

Кантор называл множество Р определенным, если относительно любого объекта можно сказать, принадлежит он множеству Р или не принадлежит.

Понятие закона Г. Кантор считал исходным, неопределимым. Вместе с тем, в его концепции понятие закона играет фундаментальную роль. Так как согласно закону элементы некоторой совокупности могут быть связаны в одно целое, то закон обеспечивает существование множества. Верно и обратное: если множество существует, то можно дать закон, обеспечивающий его существование.

Оперативными понятиями общего учения о множествах Г. Кантора являются понятия взаимно однозначного соответствия мощности и количества множества.

Кантор определил мощность — теперь часто говорят: “количественное число” — как результат абстракции от содержания и порядка элементов множества.

Он называл два множества равномощными и имеющими одинаковую мощность, если между их элементами возможно установить взаимно однозначное соответствие.

Для развития общего учения о множествах наиболее существенным явилось другое открытие Г. Кантора — доказательство существования бесконечных множеств с различными мощностями.

Если множество конечно, понятие мощности совпадает с понятием числа его элементов и может быть выражено количественным натуральным числом. В случаях бесконечных множеств нельзя говорить о числе их элементов, но каждому из таких множеств можно приписать определенную мощность. Принято относить каждому классу множеств некоторый символ мощности. Так — символ мощности счетного множества, с — символ мощности континуума, 2^т — символ мощности множества всех подмножеств множества, мощность которого есть т . Каждый такой символ Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом.

2. Трудности построения теории множеств.
Критика концепции Г. Кантора

Кантор предпринял попытку развить арифметику кардинальных трансфинитных чисел. Он доказал многие арифметические соотношения, справедливые для мощностей конкретных множеств — счетных и мощности континуума. Например, если п — любое натуральное число, то:

Но когда кантор попытался обобщить полученные им арифметические соотношения на любые кардинальные трансфинитные числа, то встретился с серьезными трудностями.

Пусть М и N — какие угодно бесконечные множества, т и п — соответствующие им кардинальные трансфинитные числа. Можно ли утверждать, что эти числа всегда могут быть связаны одним и только одним из знаков =, >, <? Для натуральных чисел т и п это утверждение справедливо, для кардинальных трансфинитных чисел справедливость его не очевидна. Кантор эту проблему не решил, её назвали проблемой трихотомии . Кантор не смог также доказать (или опровергнуть), что для любых кардинальных трансфинитных чисел справедливы соотношения:

т+п=тп ;

т=т ² ;

если т ² =п ² , то т=п ;

если т<п и p<q , то m+p<n+q ;

если т<п и p<q , то mp<nq .

А. Тарский доказал, что каждое из этих соотношений эквивалентно трихотомии.

Известно, что x₀ <c . Существует ли множество М , мощность которого т удовлетворяет неравенствам:

х₀ <m<c ?

Эту проблему Кантор также не решил. Он высказал предположение, что такое множество М не существует. Предположение Кантора называлось гипотезой континуума ; оно эквивалентно утверждению, что всякое нечетное множество действительных чисел имеет мощность континуума .

После публикации первых работ Г. Кантора, в которых он изложил начала учения о трансфинитных числах (количественных и порядковых), математики, логики, философы и особенно теологи отнеслись к его идеям весьма сдержанно. Некоторые из них выступили с открытой критикой основного понятия учения Кантора — понятия актуальной бесконечности. Кантор ответил на эти выступления в нескольких статьях и в переписке, которую впоследствии частично опубликовал.

Наиболее серьезным противником концепции Кантора был Л. Кронекер. Он считал, что действительно существующими, реальными можно признать лишь натуральные числа, вследствие чего они являются единственным объектом чистой математики. Кронекер утверждал, что все теоремы математического анализа правомерны лишь постольку, поскольку их можно истолковать как описания законов, господствующих в области натуральных чисел. С этой точки зрения, писал Кантор, известная реальность приписывается также рациональным числам, поскольку они “непосредственно вытекают” из арифметики натуральных чисел. Кронекер трактовал иррациональные числа как удобные символы для описания единым способом свойств групп натуральных чисел; понятие актуальной бесконечности он полностью отрицал. Следуя этим идеям, Кронекер опубликовал исследование, в котором наметил контуры некоторых “вспомогательных теорий”, по его мнению позволяющих освободить чистую математику от иррациональных чисел.

Кантор отмечал, что концепция Кронекера, в сравнении с общепризнанными теориями чистой математики, обладает некоторыми преимуществами. Если строго придерживаться концепции Кронекера, то “возможно потребовать”, чтобы доказательства аналитических теорем были испытаны по своему “теоретико-числовому содержанию” и чтобы каждый обнаруживающийся в них пробел был заполнен согласно принципам арифметики. В возможности подобного дополнения заключается настоящий пробный камень для правильности и полной строгости доказательств. Такие дополнения способны предохранить исследователей от ошибок и удержать полет их творческой фантазии в надлежащих границах. Однако, подчеркивал Кантор, методологические принципы концепции Кронекера не являются плодотворными. “Мы не обязаны им никакими истинными успехами и, если бы мы в действительности точно руководствовались ими, то развитие науки остановилось бы или было введено в самые узкие границы.” Впрочем, заметил Кантор, окончательное суждение о концепции Кронекера станет возможным лишь тогда, когда она будет разработана в целом и в деталях, в связи с чем выяснится её отношение к геометрии и механике. Пока этого ещё нет, пригодность концепции Кронекера не может быть названа достаточно обоснованной.

Критические замечания Кантора в адрес концепции Кронекера имеют методологическим стержнем его третье “ограничительное требование”. Они верны и не потеряли своего значения до нашего времени. Но вряд ли можно назвать правильным следующие критические замечания Кантора, которые он, по-видимому, считал наиболее серьезными: мощность континуума выше мощности множества натуральных чисел. Следовательно, запас натуральных чисел недостаточен для описания точек временного и пространственного континуума, поэтому концепция Кронекера не может считаться совершенной. Эта аргументация кантора обладает доказательной силой лишь для приверженцев учения о счетных и несчетных множествах; его противники считаться с этой аргументацией Кантора не обязаны.

Идеи Кронекера в некоторой мере способствовали сначала оформлению концепции интуиционизма, а потом и конструктивной математики.

До последнего десятилетия XIX века математики, логики и философы признавали понятия иррационального числа, но отрицали понятие актуальной бесконечности; они считали его внутренне противоречивым. Некоторые из них пытались это доказать. Кантор изучил методологическую основу таких доказательств и показал их полную несостоятельность.

“Все так называемые доказательства против возможности актуально бесконечных чисел,— писал Кантор,— ошибочны, потому, что они заранее приписывают или, скорее, навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел . Между тем, бесконечные числа — если только их должно мыслить в какой-нибудь форме — должны образовать благодаря своей противоположности к конечным числам совершенно новый числовой вид, свойства которого вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков.”

Заключительная часть приведенного высказывания Кантора является точной характеристикой существа методологии его научных исследований. Она показывает, что избранный Кантором путь обоснования научной самостоятельности учения о множествах является, по сути, материалистическим; он может быть согласован с идеализмом (субъективным или объективным — безразлично) только на словах, а на деле противоречит ему. Стремление Кантора обосновать с философских позиций возможность такой согласованности и обусловило двойственность его философских позиций в понимании природы математики и её методов.

3. Парадоксы (антиномии)
теории множеств

Наряду с указанными выше трудностями построения теории множеств в ней были обнаружены парадоксы (антиномии) поставившие под сомнение учение Г. Кантора в целом . Эти парадоксы стали объектом особого внимания математиков. И, конечно, не случайно. Как указывалось выше, ещё при жизни Кантора его теория множеств стала фундаментом всего здания математики, а её методы — действенным орудием развития многих ведущих математических теорий.

Первый парадокс обнаружил сам Кантор в 1895 году и сообщил о нем в письме к Гильберту. через два года этот парадокс обнаружил Бурали-Форти; он сделал его достоянием всех математиков.

Парадокс Бурали-Форти.

Пусть Р — множество всех порядковых чисел. Это множество вполне упорядочено; следовательно, оно определяет некоторое ординарное трансфинитное число р . Если Р_р — множество порядковых чисел меньше р , то Р_р имеет тот же порядковый тип, что и Р . Но Р_р — отрезок множества Р , определяемый числом р . Следовательно Р и его отрезок Р_р подобны друг другу. Но Кантор доказал, что вполне упорядоченное множество не может быть подобно любому своему отрезку.

В 1899 году Кантор открыл ещё один парадокс и сообщил о нем Р. Дедекинду. В 1901 году этот парадокс привлек внимание Б. Рассела.

Парадокс Кантора.

Пусть N — множество всех возможных множеств, S —множество всех возможных подмножеств множества N . Поскольку мощность множества всех возможных подмножеств любого множества имеет мощность, большую мощности этого множества, то мощность S должна быть больше мощности N . С другой стороны, множество N есть множество всех возможных множеств; следовательно S является подмножеством N . Но мощность подмножества не больше мощности множества; значит мощность S не больше мощности N .

Наибольшую известность приобрел парадокс, открытый Б. Расселом в 1902 году и опубликованный им в 1903 году. Этот парадокс открыл и Э. Цермело, но в печати его не опубликовал.

Парадокс Рассела.

О некоторых множествах можно сказать, что они содержат себя в качестве своего элемента; таково, например, множество всех множеств. Распределим все возможные множества на два класса. К первым отнесем те множества, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Ко второму отнесем все остальные, т. е. которые содержат себя в качестве своих элементов. Рассмотрим первый класс множеств. Этот класс множеств в свою очередь является некоторым множеством N , а потому принадлежит к первому или ко второму классу.

Допустим, что множество N принадлежит к первому классу. Первый класс — это класс множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве элемента. Но если N принадлежит к первому классу, то так как множество N есть множество всех множеств первого класса, оно должно содержать и себя в качестве элемента. Итак, если множество N не содержит себя в качестве элемента, то оно содержит себя в качестве элемента, следовательно нельзя предполагать, что множество N принадлежит к первому классу.

Предположим теперь, что множество N принадлежит ко второму классу, т. е. содержит себя в качестве элемента. Но элементами множества N являются только множества, не содержащие себя в качестве элемента. Следовательно, если N содержит себя в качестве элемента, то N не содержит себя в качестве элемента. Мы опять пришли к противоречию и вынуждены признать, что множество N не может ни принадлежать, ни не принадлежать к первому классу.

В наше время известны и другие парадоксы.

4. Аксиоматические построения
теории множеств по Цермело

С начала XX века и до наших дней не прекращаются попытки преодолеть трудности, связанные с построением и парадоксами теории множеств. Установленные в этом направлении результаты не получили, однако, всеобщего признания. Если и можно говорить о ценных результатах, здесь найденных, то в первую очередь в связи с различными вариантами аксиоматического построения теории множеств.

Впервые аксиоматическое построение теории множеств осуществил Э. Цермело в 1908 году. Впоследствии аксиономатика Цермело была дополнена и видоизменена в работах А. Френкеля (1922, 1925), Т. Сколема (1922-1923, 1929), Дж. Неймана (1925, 1928), П. Бернайса (1937-1954) и других математиков. Так, Френкель дополнил аксиономатику Цермело одной аксиомой, после чего получилась новая система аксиом — её назвали системой Цермело-Френкеля — более сильная, чем исходная система аксиом Цермело. В отличие от системы Цермело, обозначаемой обычно буквой Z, систему Цермело-Френкеля обозначают двумя буквами: ZF. С помощью ZF можно получить ряд фундаментальных результатов, не доказуемых с помощью Z.

Цермело сформулировал систему аксиом, в которой описал некоторые свойства множеств. Остальные свойства множеств, установленные в теории множеств Кантора, Цермело пытался вывести из своих аксиом.

Основной замысел Цермело состоял в том, чтобы ограничить область применения аксиономатики Z только такими множествами, рассмотрение которых не приводит к парадоксам. Впоследствии, при разработке новых вариантов аксиономатики теории множеств, эта ограничительная тенденция получила всеобщее признание. Позволительно, однако, думать, что в одном существенном пункте она не отвечает основным установкам и замыслу самого Г. Кантора. Кантор стремился развить теорию множеств во всей общности, как теорию, относящуюся к любым множествам; названная ограничительная тенденция была для него совершенно чуждой.

Если принять систему Z, то в некоторых существенных пунктах теория множеств Кантора получит достаточное обоснование. Обусловливается это следующими причинами. В системе Цермело имеется так называемая аксиома выбора (раньше её обычно называли просто аксиомой Цермело: в дальнейшем мы часто будем называть её именно так):

Если дано множество М, состоящее из множеств N, не пустых и без общих элементов, то из каждого множества N можно выбрать по одному элементу; совокупность выбранных элементов образует новое множество Р.

Впоследствии ортодоксальные последователи Г. Кантора нередко изменяли формулировку аксиомы Цермело так, что она становилась утверждением существования: Для каждого множества М множеств N, не пустых и не имеющих общих элементов, существует (по крайней мере одно) множество Р, содержащее по одному и только одному элементу из каждого множества N.

Утверждение существования множества Р понималось, конечно, в смысле Кантора.

Опираясь на эту аксиому Цермело доказал, что всякое множество может быть представлено в форме вполне упорядоченного множества, т. е., что мощность любого множества есть алеор . Как указывалось выше, этот факт обеспечивает возможность построения арифметики кардинальных трансфинитных чисел почти во всей общности. Достаточно сказать, что аксиома Цермело позволяет решить в утвердительном смысле проблему трихотомии и дает обоснование трансфинитной индукции. Только гипотеза континуума оставалась по прежнему загадкой. Цермело мог утверждать, что мощность континуума есть алеор, но какое место на шкале алеоров занимает С — это оставалось неизвестным. К этому можно только прибавить, что доказательства эквивалентности друг другу некоторых форм гипотезы континуума также опираются на аксиому Цермело.

Более десяти лет с момента опубликования мемуаров Цермело приложения аксиомы выбора ограничивались областью теории функций действительного переменного. Кроме указанных, можно, например, упомянуть приложения этой аксиомы в теории точечных множеств и, в частности, в теории измеримых множеств.

В 20-х и 30-х годах ХХ века поле приложения аксиомы Цермело значительно расширилось. Можно, например, указать на исследования Биркгофа систем дифференциальных уравнений, в которых он применял трансфинитную индукцию. Особенно важно указать на теорию линейных операторов, которую Ж. Адамар в начале 30-х годов называл наиболее сильным методом исследования современной математики. Теория линейных операторов развивается на базе общего учения о множествах и пользуется аксиомой Цермело для установления некоторых важнейших своих предложений. Широкое поле для применения аксиомы Цермело дали алгебра и топология.

Своеобразие аксиомы Цермело заключается в том, что она не только является орудием отыскания новых математических фактов и придает известную общность учению о множествах, но и усугубляет трудности обоснования математики.

Одна из трудностей состоит в том, что, рассматривая вполне определенные (в смысле Кантора) множества, с помощью аксиомы Цермело можно доказать существование множеств, неопределимых в смысле Кантора. Вот пример.

Рассмотрим все функции действительного переменного х , определенные на сегменте [0, 1] и не равные на этом сегменте тождественно нулю. Разделим эти функции на пары, относя в одну пару такие две функции, которые отличаются только знаком, т. е. функции f(x)п–f(x) . По аксиоме Цермело существует множество Р , включающее по одной и только одной функции каждой пары. Следовательно, согласно аксиоме Цермело, можно утверждать существование Р функций действительного переменного х , определяемых на сегменте [0, 1] и не равных на этом сегменте тождественно нулю, такого, что

а) каковы бы ни были функции f₁ и f₂ множества Р , всегда ;

б) какова бы ни была функция j(х) , определенная на сегменте [0, 1] и не равная на нем тождественно нулю, существует одна и только одна функция f множества Р , такая, что либо f+ j= 0, либо f– j= 0 для любого х , .

Однако множество Р не определено в смысле Кантора, так как мы не можем сказать о любой функции j(х) , подчиняющейся выставленным условиям, принадлежит ли она Р или не принадлежит.

Другая трудность состоит в том, что с помощью аксиомы Цермело часто возможно определить класс множеств, в то время как ни одного объекта из этого класса определить (различить) не удается. Например, согласно аксиоме Цермело существует класс неизмеримых множеств. Однако до сих пор никто не смог построить (дать) индивидуального примера неизмеримого множества.

5. Проблема существования в математике

В конце XIX и начале ХХ века исследования по вопросам обоснования математики имели преимущественно преодоление следующих основных трудностей.

Теория множеств стала в это время фундаментом математики, а её методы — основой методов ведущих математических дисциплин. Вместе с тем сама теория множеств оказалась необоснованной в ряде решающих пунктов (гипотеза континуума, проблема упорядочивания).

В теории множеств были обнаружены парадоксы (антиномии), устранение которых — как показали исследования математиков и логиков, начиная с Рассела — оказалось отнюдь не простым делом.

Парадоксы теории множеств оказались имеющими не только математическую, но и логическую природу; в этой связи естественно возник вопрос о средствах логики, допустимых в математике.

Эти трудности поставили перед математиками проблему понимания существования в применении к математическим объектам.

Чтобы лучше уяснить смысл проблемы существования, установи сначала различие между так называемыми эффективными и неэффективными доказательствами существования. Эти различия мы постараемся описать соответственно представлениям, господствовавших в математике примерно до конца 20-х — начала 40-х годов ХХ века.

Докажем, что каковы бы ни были натуральные числа Р₁ , …, Р_п , существует натуральное число Р , взаимно простое с каждым из этих чисел. Рассмотрим число Р=Р₁ *…*Р_п +1; при делении на любое из чисел Р₁ , …, Р_п это число дает в остатке 1. Следовательно, оно взаимно простое с каждым из чисел Р₁ , …, Р_п . Итак, число Р существует.

Это доказательство эффективно. Мы доказали существование числа Р тем, что показали, как с помощью обычных арифметических действий найти это число. К числу эффективных доказательств относятся также доказательства формул для решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней, доказательство существования определенного интеграла от непрерывной функции и т. п. При этом, естественно, считаются обоснованными соответствующие алгебраические операции, арифметика действительных чисел и операция перехода к пределу.

Вообще всякое эффективное доказательство тем и характеризуется, что с помощью так или иначе обоснованных посылок оно позволяет индивидуально охарактеризовать (вычислить, построить и т. п.) объект, существование которого доказывают.

Рассмотрим теперь другой пример. число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Например, число алгебраическое, т. к. оно является корнем уравнения х ² –2=0. Напротив, число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, называется трансцендентным числом. Докажем, следуя Кантору, существование трансцендентных чисел. Известно, что множество всех алгебраических чисел счётно, в то время как множество всех действительных чисел несчётно. Если бы трансцендентные числа не существовали, каждое действительное число было бы алгебраическим и, следовательно, множество всех действительных чисел было бы счетным. чтобы избежать противоречия остается принять, что трансцендентные числа существуют, хоть доказательство не дает нам ни одного примера трансцендентного числа. Это пример неэффективного доказательства. В неэффективных доказательствах существования (основанные, например, на принципе исключенного третьего) не дается никакого примера объектов, существование которых доказывается.

Парадоксы теории множеств явились дополнительным (но не единственным) основанием поставить под сомнение не только эффективные доказательства существования, базирующиеся на аксиоме Цермело, но и любые неэффективные доказательства существования математических объектов. Можно ли, спрашивали математики, высказывавшие эти сомнения, считать существующим математический объект, который мы не умеем построить, множество, не одного элемента которого мы не сумеем указать?

Какое значение имели сомнения в правомерности неэффективных доказательств существования для математики начала ХХ века? Очень большое! Они, по сути, ставили под сомнение концепцию Кантора, теоретико-множественное обоснование математики и ряд конкретных результатов классических математических теорий.

Новое в постановке проблемы существования в математике начала ХХ века состояло в том, что эта проблема много шире и глубже, чем раньше, захватила основные вопросы обоснования математики и логики и оказалась тесно связанной и с философией.

Список литературы.

И. Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектик.

А. Н. Колмогоров. Математика в её историческом развитии.

Математическая энциклопедия.

В. Н. Молодший. Очерки по философским вопросам математики.

Г. И. Рузавин. О природе математического знания.

Философские проблемы естествознания. Под ред. С. Т. Милюхина.

И. З. Цехмистро. Диалектика множественного и единого.

С. А. Яновская. Методологические проблемы науки.

Реферат: Три кризиса в развитии математики

Похожие рефераты: